Лекция 4: «исследование функций с помощью производной»

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 3Следующая ⇒

ЛЕКЦИЯ 4: «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ»

1. Условие постоянства функции.

Теорема 1.Если функция  непрерывна на отрезке  и во всех внутренних точках отрезка её производная равна нулю, то функция  постоянна на этом отрезке.

2. Возрастание и убывание функции.

Теорема 1.Если функция  непрерывна на отрезке  и её производная положительна всюду на интервале , то  строго возрастает на .

Теорема 2.Если функция  непрерывна на отрезке  и её производная отрицательна всюду на интервале , то  строго убывает на .

Пример:Найдите интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Найдём производную . Производная положительна в промежутке . Таким образом, функция возрастает во всей области определения.

3. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной.

Определение.Пусть функция , определена в некоторой окрестности точки  и непрерывна в этой точке. Точка  называется точкой максимума (минимума) функции, если существует её окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство  ( ), причём знак равенства имеет место лишь в случае .

Замечание 1. Максимум и минимум функции не всегда являются наибольшим и наименьшим значениями функции на данном отрезке. В точках максимума (минимума) функция принимает наибольшее (наименьшее) значение лишь для точек окрестности, достаточно близких к точке максимума (минимума). На рисунке функция  достигает максимума в точках , . Точки ,  являются точками минимума. Наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение в точке .

Точки максимума и минимума называют точками экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция  имеет в точке  максимум или минимум, то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е.

Замечание. Необходимое условие существования экстремума не является достаточным.

Пример 1.  Тогда , но  не является точкой экстремума.

Замечание. В точках, в которых производная не существует, может быть или максимум, или минимум, но может ни быть, ни того, ни другого.

Пример 2.  не имеет производной в точке , но  - точка минимума этой функции.

Пример 3.  не имеет производной в точке , так как . Точка  не является точкой экстремума.

Значения аргумента, при которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция  непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при  функция имеет максимум. Если же при переходе через точку  слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Пример: Исследуйте на экстремум функцию .

Решение. Имеем:

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:  При переходе через точку  производная меняет знак с «+» на «-», значит, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку  производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. Результаты исследования сведены в таблицу:

x

+

-

+

возрастает

Убывает

Возрастает

Итак, .

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману