Теоретический материал для самостоятельного изучения

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

1. Рассмотрим показательные уравнения.

Показательным называется уравнение, в котором переменная входит только в показатели степеней, при заданном основании.

Уравнения вида , называются простейшими показательными уравнениями.

В самом простом случае уравнение принимает вид: .

Так как множество значений показательной функции - множество положительных чисел, то при уравнение решений не имеет.

Теперь рассмотрим случай b>0.

Вспомним, что показательная функция при a>1 монотонно возрастает и принимает все положительные значения, каждое ровно один раз. В случае 0<a<1 показательная функция монотонно убывает и также принимает все положительные значения, каждое ровно один раз.

Рисунок 1 – иллюстрация решения простейшего показательного уравнения , a>1.

Рисунок 2 – иллюстрация решения простейшего показательного уравнения , 0<a<1.

Для того чтобы решить простейшее показательное уравнение , нужно число b представить в виде степени числа a.

Рассмотрим пример:

.

Представим в виде степени числа 13:

.

Теперь перепишем данное уравнение в виде:

,

поэтому x=2/5.

Ответ: x=2/5.

2. Теперь перейдем к решению более сложных показательных уравнений.

2.1. Рассмотрим уравнение вида:

.

То есть мы видим, что левая часть этого уравнения представляет собой сумму, слагаемые которого отличаются коэффициентами и показатели степеней с одинаковыми основаниям отличаются слагаемыми .

Для решения таких уравнений левую часть преобразуют следующим образом: выносят за скобку степень (часто, чтобы избежать дробных коэффициентов, выносят степень с наименьшим показателем):

Мы видим, что выражение в скобках представляет собой число.

Поэтому выразим и решим простейшее показательное уравнение.

Рассмотрим пример:

.

Решение:

Преобразуем левую часть и вынесем за скобку :

x-1=0

x=1

Ответ: x=1.

2.2. Рассмотрим еще одно уравнение, которое решается с помощью вынесения за скобку общего множителя.

.

Решение:

Преобразуем уравнение: перенесем степени с одинаковыми основаниями в одну часть:

,

Вынесем за скобку множители с одинаковыми показателями:

, .

Теперь преобразуем полученное уравнение к виду: . Для этого разделим обе части уравнения на и на 3:

.

x-0,5=1

x=1,5.

Ответ: x=1,5.

2.3. Еще один вид показательных уравнений – уравнения, сводящиеся к квадратным:

.

В этом случае вводят новую переменную: . Получим вспомогательное уравнение: .

После решения этого уравнения получим простейшие показательные уравнения.

Рассмотрим пример:

.

Решение:

Введем новую переменную: .

Запишем вспомогательное уравнение: .

. Вернемся к переменной х:

, .

Ответ:

2.4. Еще один вид уравнений, который сведется к решению квадратного или уравнения третей степени, это однородное уравнение.

Однородным показательным уравнением называется уравнение вида:

Здесь f и g функции вида: , коэффициенты.

Однородные показательные уравнения решаются делением на или на и последующей заменой: .

Рассмотрим пример:

.

Решение:

Заметим, что , , . То есть уравнение можно записать в виде:

.

Разделим уравнение на , получим уравнение:

. Теперь введем новую переменную:

и получим вспомогательное уравнение:

, решим его:

.

, .

Ответ: .

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману