Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь
FAQ
Написать работу

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу

Вписанная и описанная окружность

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Четырехугольники

I Четырехугольник– это геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки. Мы будем говорить о выпуклых четырехугольниках.

Формула площади четырехугольника:

где d₁d₂- диагонали и ∠a - угол между диагоналями

II Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Свойства:

1. Противолежащие стороны параллелограмма равны;

2. Противолежащие углы параллелограмма равны;

3. Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам;

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон (Тождество параллелограмма).

*СЕРЕДИННЫЙ ПЕНПЕНДИКУЛЯР И СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ЧЕВИАНАМИ!

Признаки:

1. Если у четырёхугольника две противоположные стороны одновременно равны и параллельны, то такой четырехугольник – параллелограмм;

2. Если у четырёхугольника все противоположные стороны попарно равны, то такой четырехугольник – параллелограмм;

3. Если у четырёхугольника все противоположные стороны попарно параллельны, то такой четырехугольник – параллелограмм;

4. Если у четырёхугольника диагонали делятся в точке их пересечения пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм;

5. Если у четырёхугольника сумма соседних углов равна 180 градусов, то такой четырехугольник – параллелограмм;

Формула площади параллелограмма:

III Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы равны. Значит, прямоугольник обладает как всеми свойствами параллелограмма, так и "личными":

Свойства:

1 Диагонали прямоугольника равны;

2 Квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон прямоугольника;

3 Все углы в прямоугольнике равны 90^о.

Признаки:

1. Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм – прямоугольник;

2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон, то такой параллелограмм – прямоугольник;

3. Если углы параллелограмма равны, то такой параллелограмм – прямоугольник.

Формула площади прямоугольника:

где a и b – стороны прямоугольника

IV Квадрат – правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Свойства:

1. Длины всех сторон равны.

2. Все углы квадрата прямые.

3. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов;

4.Центр вписанной и описанной окружности совпадают.

Признаки:

1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.

2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

V Ромб –это параллелограмм, у которого все стороны равны

Свойства:

1. Диагонали ромба перпендикулярны;

2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов;

3. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

Признаки:

1. Если все стороны параллелограмма равны между собой, то такой параллелограмм – ромб;

2. Если диагонали пересекаются под прямым углом, то такой параллелограмм – ромб;

3.Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то такой параллелограмм – ромб;

Формула площади ромба:

где d₁, d₂– диагонали ромба, sina - угол между сторонами ромба, h_a – высота к стороне а

VI Трапеция –четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Свойства:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме;

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне;

3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую площадь;

4. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований, т.е. MN=(b-a)/2;

5. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства равнобедренной трапеции:

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

4. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Окружность

Окружность –это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от даннойточки.

Секущая – прямая, пересекающая окружность в двух различных точках;

Хордой – отрезок секущей, соединяющий две точки окружности;

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности;

Cектор — часть круга, которая ограничена дугой этого самого круга и двумя радиусами;

Сегмент круга — часть круга, ограниченная дугой окружности и её хордой или секущей;

.Длина окружности — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей круг.

Формулы:

1.                                       – площадь круга;

2. Длина окружности –                                        ;

3.                                                       - площадь сектора, где L - длина дуги

сектора, - центральный угол в рад.,

∠ – центральный угол в градусах.

4. Площадь сегмента круга

где∠ – угол в рад.

Свойства хорд:

1. Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, равны.

2. Если хорды стягивают равные центральные углы, то они равны.

3.Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через ее середину.

4. Если вписанные углы опираются на одну хорду, то они равны.

5. Две дуги равны, если они заключены между двумя равными хордами.

6. Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду, а их вершины лежат по разные стороны хорды, то их сумма составляет 180°

Касательная прямая к окружности— прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку

Свойства:

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку качания;

2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Величина центрального угла равна величине дуге, на которую опирается этот угол;

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Величина вписанного угла равна половине величине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Свойства:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой;

3.Равные центральные углы опираются на равные хорды;

Свойства хорд, касательных, секущих:

1. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними:

2.Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними или равен вписанному углу, опирающемуся на эту дугу:

3. Угол между секущими, проведенными через одну точку к окружности, равен полуразности дуг, заключенными между ними:

4. Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть:

5. Если секущие исходят из одной точки, то произведение одной секущей на внешнюю часть равно произведению другой секущей на внешнюю часть:

6. Если хорды пересекаются, то произведение отрезков, на которые делится хорда этой точкой пересечения, равны:

Вписанная в выпуклый многоугольник окружность – это окружность, которая касается всех сторон данного многоугольника;

Свойства:

1.Центр вписанной окружности находится на точке пересечения биссектрис;

2. У описанного четырехугольника суммы длин противоположных сторон равны (теорема Пито):

Формулы, связанные с радиусом вписанной окружности:

1.Площадь треугольника:                    ,где р - полупериметр;

2. Теорема котангенсов:

где – углы напротив сторон a, b, c соответственно

3. Связь радиусов вписанной и описанной окружности:

4. Связь радиуса вписанной окружности и высот в треугольнике:

Описанная окружность-— окружность, содержащая все вершины многоугольника.

Свойства:

1. Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам;

2. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы;

3. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180^о;

Формулы, связанные с радиусом описанной окружности:

1. Теорема синусов: радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла:

2. Площадь треугольника:

3. Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника:

Дополнительно

Теорема Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник АВС, причем C' – это точка её пересечения со стороной АВ, А' – точка её пересечения с стороной ВС и В' – точка её пересечении с продолжением стороны АС, тогда выполняется следующее равенство:

P.S. Запоминать формулировку теоремы не нужно, следуйте по правилу "вершина, точка - точка, вершина"

Теорема Чевы

В треугольнике три чевианы пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:

P.S. Формулировку теоремы Чевы также заучивать не нужно, пользуйтесь правилом "вершина, точка - точка, вершина".

Теорема Чевы, синусный вид

Теорема Ван-Обеля

Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты точки С₁, А₁ и В_1. Если прямые АА₁, ВВ₁СС₁пересекаются в ондной точке, то выполняется следующее равенство:

Теорема Птолемея

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон:

Теорема Вариньона

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника

Следствия из теоремы:

1. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника;

2. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.

Формулы Мольвейде

Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

⇐ Предыдущая 1 23

Познавательные статьи:

Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте

Последнее изменение этой страницы: 2024-06-17; просмотров: 53; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 216.73.217.21 (0.008 с.)