Нарушение электроснабжения узла 3

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

4.3.3. Вероятностные показатели

Расчетные методы определения вероятностных показателей надежности в зависимости от используемых математических средств можно подразделить на аналитические и имитационные.

                                                                                                                                                             Рис. 4.5. К иллюстрации метода

                                                                                                                                                                                  дерева отказов

Предварительно проанализируем вопрос о необходимой и достаточной номенклатуре определяемых показателей надежности систем, поскольку полный перечень их даже для абстрактного объекта достаточно велик и часть их может быть получена из других (см. гл. 3). Если рассматривается восстанавливаемый объект с L возможными состояниями, то как минимум требуется обычно определить L показателей – частоты попадания объекта в эти состояния или средние времена нахождения объекта в них. Если же необходимо знать еще и частоты того, из каких состояний объект переходит в данное, то минимальное число показателей возрастает до L(L-1). Слово "минимальное" здесь имеет тот смысл, что нас не интересуют законы распределения времен нахождения объекта в тех или иных состояниях, а мы довольствуемся лишь средними временами нахождения объекта в этих состояниях или полагаем, что эти времена подчиняются экспоненциальным законам.

Для восстанавливаемого объекта, имеющего всего два состояния, минимальное количество показателей также равно двум. Это могут быть средние времена нахождения его в этих состояниях либо один из них в сочетании с комплексным показателем, например коэффициентом готовности (или неготовности), характеризующим одновременно и другое единичное свойство.

В случае невосстанавливаемого объекта минимальное число показателей сокращается и для объекта с двумя состояниями требуется всего один показатель.

4.3.3.1. Аналитические методы. Общий случай. Эти методы построены на использовании теорем теории вероятностей (сложения, умножения вероятностей, формулы полной вероятности и др.). С их помощью устанавливаются связи между вероятностями событий и состояний элементов с событиями и состояниями системы. В самом общем виде показатель безотказности – вероятность того, что система, находясь в состоянии , не снизит свой уровень работоспособности ниже -го уровня за заданное время t – можно записать так:

P P  при                       (4.25)

а показатель восстанавливаемости – вероятность того, что система, находясь в состоянии , за заданное время t повысит уровень своей работоспособности выше -го уровня:

P P  при                   (4.26)

Комплексный показатель – коэффициент готовности как вероятность застать систему в работоспособном состоянии -го уровня – определится как

P .                                      (4.27)

В зависимости от способа представления функции  системы и принимаемых допущений разработан ряд аналитических методов расчета показателей надежности для абстрактной системы.

4.3.3.2. Аналитический метод на основе марковского процесса. Процесс, протекающий в системе, называют марковским (или потоком без последействия), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Для того чтобы такой процесс протекал в системе, необходимы простейшие (пуассоновские, стационарные) потоки отказов и восстановлений элементов системы, т.е. с  (законы распределения времени работы до отказа и времени восстановления элементов – экспоненциальные).

Экспоненциальность законов является первым допущением в этом методе, вторым – элементы могут находиться только в двух состояниях (работоспособном и неработоспособном). Искомые вероятностные показатели здесь определяются с использованием структурно-функционального представления системы в виде графа состояний и переходов (см. рис. 4.2 и 4.3).

Пусть процесс отказов и восстановлений элемента обладает свойствами марковского случайного процесса, а элемент может находиться в двух состояниях:  - безотказной работы,  - состоянии отказа (см. рис. 4.2). Определим соответствующие вероятности состояний элемента  и  в произвольный момент времени t при различных начальных условиях.

Для любого момента времени сумма вероятностей  +  - вероятность достоверного события. Зафиксируем момент времени t и найдем вероятность p  того, что в момент  элемент находится в работоспособном состоянии. Это событие осуществляется при двух условиях.

1. В момент t элемент находился в состоянии  (в работоспособном состоянии) и за время  не произошло отказа. Вероятность работоспособного состояния элемента определяется по правилу умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что в момент t элемент был в состоянии , равна , а того, что за время  он не отказал - . С точностью до величины высшего порядка малости разложения Тейлора можно записать

.                               (4.28)

Поэтому вероятность данной гипотезы равна .

2. В момент времени t элемент находится в состоянии  (в состоянии отказа), за время  восстановление закончилось и элемент перешел в состояние . Эту вероятность также определим по правилу умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что в момент времени t элемент находился в состоянии , равна , а вероятность того, что восстановление закончилось за время не более , определим из (3.22) как  при тех же допущениях, что и для (4.28). Следовательно, вероятность второй гипотезы равна

Вероятность работоспособного состояния элемента в момент  определяется вероятностью суммы независимых несовместимых событий при выполнении обеих гипотез:

                       (4.29)

или

Устремляя Dt®0, имеем

.

Следовательно, первое уравнение состояния будет выглядеть как

                                      (4.30)

Проводя аналогичные рассуждения для второго состояния элемента – состояния отказа, можно получить второе уравнение состояния

                                    (4.31)

Таким образом, для описания вероятностей состояний элемента получена система из двух дифференциальных уравнений (4.30) и (4.31).

Если имеется направленный граф состояний элементов системы, то систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний , можно сразу записать, пользуясь следующим простым правилом: в левой части каждого уравнения стоит производная , а в правой – столько составляющих, сколько ребер графа состояний типа 4.2 и 4.3 связано непосредственно с данным состоянием; если ребро оканчивается в данном состоянии, то составляющая имеет знак плюс; если начинается из данного состояния - знак минус. Каждая составляющая равна произведению интенсивности потока событий, переводящего элемент или систему по данному ребру в другое состояние, на вероятность того состояния, из которого начинается ребро.

Решение системы уравнений, описывающих состояния одного элемента при начальных условиях , дает вероятность безотказной работы

                                   (4.32)

и вероятность отказа

.                        (4.33)

Если в начальный момент времени элемент находился в состоянии отказа, т.е. , то

,                               (4.34)

.                               (4.35)

Для стационарного состояния  вероятность безотказной работы равна стационарному коэффициенту готовности, а вероятность отказа – коэффициенту неготовности (вынужденного простоя):

,                        (4.36)

.                      (4.37)

Для стационарных состояний марковские процессы вырождаются в марковские цепи.

Уравнения марковских процессов дают возможность вычислять как вероятности состояний (например, коэффициенты готовности и неготовности), так и вероятность наступления тех или иных событий (например, вероятность безотказной работы или отказа). В последнем случае искомое событие связывают с попаданием системы в поглощающее состояние.

Таким образом, метод, использующий марковские процессы, позволяет строго и в общем виде получать решения, т.е. вероятности всех состояний и их изменения во времени.

Однако этот метод ограничен только экспоненциальными моделями элементов, существенный недостаток метода – большая размерность матрицы состояний . Например, для системы, состоящей всего из 10 элементов, порядок матрицы равен  1024, что вызывает, с одной стороны, большие трудности в переборе всех состояний системы и определении коэффициентов перехода, а с другой - создает и большие вычислительные трудности.

4.3.3.3. Аналитический логико-вероятностный метод. Такое название закрепилось за рассматриваемым методом, хотя любой метод расчета надежности содержит в себе и логическую и вероятностную части. Здесь же подразумевается, что метод основан на применении теорем теории вероятностей к функциям алгебры логики. Указанная основа метода предопределила принимаемые здесь допущения. В отличие от предыдущего метода предполагается, что не только элементы могут находиться в двух состояниях, но и сама система. Кроме того, этот метод в основном применим к системам, которые могут быть представлены сетевой структурой в смысле надежности.

Теоретически метод может быть применен к системе, времена безотказной работы и восстановлений элементов которой распределены по любому закону, однако практически он используется для систем с экспоненциально распределенными временами (с простейшим потоком отказов).

Таким образом, если структурно-функционально система описана функцией алгебры логики , то коэффициент готовности определяется как

P ,                                            (4.38)

где  - функция работоспособности в момент времени t, а коэффициент неготовности

P                                            (4. 39)

где  - функция неработосособности в момент времени t.

В качестве другого основного показателя можно определять вероятность безотказной работы на интервале времени :

P ,                        (4.40)

где  - время до отказа, а  - функция работоспособности системы на интервале времени .

Различие между (4.38) и (4.40) заключается в том, что в первом случае функция работоспособности системы примет значение 1 в заданный момент времени t, а во втором случае функция работоспособности будет равна единице на интервале времени до отказа.

Основная проблема использования соотношений (4.38)- (4.40) состоит в том, что вероятностные показатели надежности системы зависят от вероятностных показателей состояний элементов.

В качестве примера определим вероятностные показатели надежности системы, состоящей из n последовательно соединенных в смысле надежности независимых элементов.

Функция работоспособности в момент времени t имеет вид

Коэффициент готовности

P .

На основе теоремы умножения вероятностей имеем

P (z = 1)=P P P  P .

Поскольку P  то

.                                               (4.41)

Коэффициент неготовности

.                   (4.42)

Если  то

                            (4.43)

Ошибка последней формулы не превышает . Ее справедливость легко проверяется на численных примерах.

Вероятность безотказной работы. Так как система проработает без отказа на интервале  только при условии, что все ее элементы не откажут на этом интервале времени, то

 при ;

P

P

P

P

Но P  при  - вероятность безотказной работы i-го элемента, тогда

                                             (4.45)

Если учесть (3.8), то

,

откуда

,                                          (4.46)

т.е. интенсивность отказов системы, состоящей из n последовательно соединенных в смысле надежности независимых элементов, равна сумме интенсивностей отказов ее элементов.

Если элементы с простейшими потоками отказов, то  и

.                                  (4.47)

Аналогично вероятность отказа

                         (4.48)

При

                                   (4.49)

с ошибкой, не превышающей . Замечание о справедливости (4.49) то же, что и для (4.43).

P

P

P

P

P

 при ;

 при

Но  при , следовательно,

,                                         (4.50)

                                            (4.51)

P

P

P

P

P

P

P

P

Коэффициент неготовности

Но P , следовательно,

.                                     (4.52)

В случае n элементов коэффициент неготовности системы равен произведению коэффициентов неготовности элементов.

Соответственно коэффициент готовности для двух параллельно соединенных и восстанавливаемых элементов

.       (4.53)

Определение вероятности безотказной работы системы для этого случая требует достаточно сложных выкладок и решения интегрального уравнения, поэтому здесь не рассматривается.

4.3.3.4. Аналитический метод на основе формулы полной вероятности. В случае сложной аварии может быть использован аналитический метод на основе формулы полной вероятности. При этом рассматриваются последствия отказов элементов системы в различных режимах с номерами j – нормальном, ремонтных и др. Наложения отказов элементов на режимы системы классифицируются как аварийные состояния с определенной степенью нарушения работоспособности системы: потеря генераторов, трансформаторов, линий, погашение секций шин, снижение располагаемой или выдаваемой мощности, дефицит мощности в системе, а также различные сочетания нарушений.

Аварии классифицируются по продолжительности ликвидации их последствий как кратковременные (оперативные переключения) и длительные (восстановительные ремонты). Последствия отказов устройств релейной защиты, противоаварийной автоматики и коммутационных аппаратов рассматриваются как развитие аварии.

Все элементы системы – генераторы, трансформаторы, линии, секции шин, выключатели, отделители, короткозамыкатели и др. – получают номера i. Для них задаются показатели надежности, например, , и т.д. Для устройств релейной защиты и противоаварийной автоматики, коммутационной аппаратуры задаются их номера s, а также  - условная вероятность отказа устройства с номером s при условии, что отказал элемент в основной схеме с номером i.

Плановые и аварийные режимы учитываются отдельно, если они отличаются составом отключенных элементов. Нормальный режим по полной схеме системы получает номер j = 0. Для каждого режима задаются показатели  и др.

Все множество режимов составляет полную группу событий, поэтому в соответствии с формулой полной вероятности

P_j = 1,

где r – число заданных режимов системы.

P

P 

P                             (4.55)

где P  - вероятность отказа i-го  элемента  в j-м  режиме;

P  - вероятность возникновения аварии k-го вида при условии отказа i-го элемента в j-м режиме. Индекс i = 0 присвоим вероятности отсутствия отказов.

P

P

P ,              (4.56)

P

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология