Структурно-функциональные показатели

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

априорных сведений

При экспериментальных оценках надежности независимо от того, какое свойство исследуется, все многообразие оцениваемых показателей сводится к двум типам:

· наработка – средняя, или g-процентная (до отказа, между отказами, до предельного состояния, срок сохраняемости, время восстановления и т.п.);

· вероятность (безотказной работы, исправного состояния в произвольный момент, восстановления за заданное время и т.д.).

При определении показателей типа наработки непосредственно наблюдаемыми величинами являются случайные интервалы: наработки до отказа, между отказами, до предельного состояния, времени восстановления, времени хранения до отказа и др.

При определении показателей типа вероятности непосредственно наблюдаемыми случайными величинами являются числа событий в испытаниях: количество отказов, восстановлений, предельных состояний и т.д.

С точки зрения характера априорных сведений о функции распределения все многообразие практических задач сводится, по существу, к двум вариантам:

1) вид функции распределения наблюдаемой случайной величины известен априори. Задача статистической обработки – получить оценки для показателей надежности с учетом вида функции распределения и характера имеющегося статистического материала;

2) вид функции распределения наблюдаемой случайной величины неизвестен или известен лишь предположительно. В этом случае на основании анализа процессов, приводящих к отказам, опыта эксплуатации аналогичных изделий и предварительного анализа полученной при испытаниях информации (например, по виду гистограммы) принимается некоторая гипотеза о виде функции распределения. Задача обработки – проверить, не противоречат ли экспериментальные данные принятой гипотезе, и оценить параметры этой функции распределения.

В такой постановке необходима подробная информация о наблюдаемой случайной величине, а процесс статистической обработки в качестве обязательных должен включать следующие этапы:

– построение вариационного ряда;

– построение гистограммы;

– принятие гипотезы о виде функции распределения;

– оценку точечных значений параметров (для функции распределения предполагаемого типа);

– проверку непротиворечивости экспериментальных данных принятой гипотезе о функции распределения.

В случае положительных результатов последнего этапа может быть проведена оценка интервальных значений параметров функции распределения (показателей надежности); в случае отрицательных результатов процесс статистической обработки повторяется с этапа принятия гипотезы при другом предположении о виде функции распределения.

Если вид функции распределения не отвергнут результатами проверки, то в остальном процедуры определения точечных и интервальных оценок параметров в обоих вариантах постановок задач практически совпадают.

Особым является случай, когда оценка параметров распределения не производится – требуется оценить непосредственно значение функции распределения в некоторой фиксированной точке, т.е. оценить показатель типа вероятности. Например, вероятность отказа или безотказной работы для фиксированной наработки; вероятность восстановления или невосстановления за фиксированное время; вероятность наступления предельного состояния при заданной наработке; вероятность сохранения или несохранения определенных показателей качества при хранении объекта в течение заданного времени. Задачи такого типа в математической статистике носят название непараметрических.

Этот случай является наиболее простым с точки зрения организации испытаний (наблюдений), трудоемкости сбора и статистической обработки информации. Здесь испытания каждого изделия проводятся в течение фиксированного времени (наработки) не обязательно по всем изделиям одновременно. Контроль функционирования может быть осуществлен только перед началом и по окончании испытаний. Подлежащие статистической обработке результаты испытаний при этом представляют собой только два числа – общее число испытаний фиксированной длительности (число опытов) и число успешных или неуспешных опытов. Естественно, что при этом получаемая в результате статистической обработки оценка несет лишь минимальную информацию – значение функции распределения в единственной точке, соответствующей фиксированной наработке при испытаниях (наблюдениях). За исключением полученного значения функции в этой точке мы не имеем никакой другой информации и не должны экстраполировать оценку для других значений наработки.

4.2.4. Стратегии испытаний

На практике в большинстве случаев нет возможности так организовать испытания, чтобы получить экспериментальные данные по надежности необходимого вида и в достаточном объеме. Обычно задача заключается в том, чтобы оценить показатели надежности по тому статистическому материалу, который имеется. На характер статистического материала существенно влияет стратегия испытаний (или режим эксплуатации):

· число изделий, подвергаемых испытаниям;

· порядок контроля функционирования в процессе испытаний (наблюдений);

· порядок восстановления (замены) изделий;

· порядок поступления изделий на испытания;

· критерий окончания испытаний (наблюдений).

Реально перечисленные факторы можно существенно варьировать в зависимости от конкретных условий, например:

– испытания одного изделия или группы изделий;

– контроль непрерывный или периодический либо только перед началом и по окончании испытаний;

– испытание с восстановлением (заменой) отказавших изделий либо без восстановления (замены);

– одновременное испытание всех изделий либо неодновременное;

– испытания до отказа всех изделий либо до фиксированного числа отказов, либо до истечения фиксированного времени (наработки).

На практике различные сочетания этих факторов являются причиной большого разнообразия реальных стратегий испытаний.

4.2.5. Методы расчета показателей

Различают точечные и интервальные оценки показателей надежности.

Точечная оценка показателей. Расчетные выражения для точечных оценок показателей надежности объекта могут быть экспериментальными методами оценены следующим образом (оцениваемые показатели обозначены с "крышечкой" сверху).

Вероятность безотказной работы

,                                         (4.1)

где n(o) – число наблюдаемых объектов в начале эксперимента; n(t) – число оставшихся работоспособных объектов в момент времени t (объекты невосстанавливаемые).

Интенсивность отказа в момент времени t

,                                    (4.2)

где Dt – небольшой интервал времени.

Средняя наработка до отказа для случая отсутствия замены или восстановления объектов

,                                                  (4.3)

где  - время до отказа i-го наблюдаемого объекта.

Частота отказов на интервале

,                               (4.4)

где  - число отказов i-го объекта до момента времени  и  соответственно.

Интенсивность восстановления

,                                    (4.5)

где  - число объектов, восстановление которых длилось меньше t+Dt и t соответственно.

Коэффициент готовности

,                                              (4.6)

где  – суммарное время пребывания i-го объекта в работоспособном состоянии за время ;  – продолжительность наблюдения, включающая интервалы работоспособного состояния и ремонтов после отказов.

Если времена  различны для каждого из наблюдаемых объектов, то

,                                     (4.7)

где  – суммарная наработка всех объектов;  - суммарное время восстановления после отказов.

Или

,                                       (4.8)

где  – число объектов, находящихся в состоянии работоспособности в произвольный "достаточно удаленный" момент времени.

Коэффициент технического использования

,                                  (4.9)

где  – суммарное время плановых ремонтов.

Интервальная оценка показателей. Любая полученная точечная оценка, если даже она удовлетворяет всем критериям качества, обладает существенным недостатком в том смысле, что сама представляет собой лишь частное значение случайной величины. Поэтому кроме точечной оценки желательно знать практически надежные границы для оцениваемого параметра, т.е. найти такой интервал оценок, который с достаточно высокой вероятностью "накрывает" неизвестный параметр.

Очевидно, что достоверными границами для показателей надежности (абсолютно надежными границами) являются для  и других аналогичных показателей – [0, ¥], для p(t),  и других вероятностей – [0, 1]. Указание других границ сопряжено с риском совершить ошибку. Вероятности ошибок  и  называют уровнями зависимости оценок:  – вероятность того, что найденный интервал не накроет используемый параметр своим левым концом;  – вероятность того, что найденный интервал не накроет используемый параметр своим правым концом.

За меру достоверности оценки – доверительной вероятности – принимается величина , показывающая, с какой вероятностью можно утверждать, что доверительный интервал "накроет" истинное значение показателя,

g = P ,                              (4.10)

где ,  – нижняя и верхняя границы доверительного интервала соответственно для показателя "среднее время до отказа".

Чаще всего вероятности  и  выбираются одинаковыми, тогда g =1 - 2e и, следовательно, каждая из доверительных границ определяется с уровнем значимости e = 1 - g/2 или с односторонней доверительной вероятностью (коэффициентом доверия)

Если известен вид функции распределения оценки, то принцип вычисления доверительных интервалов состоит в том, что за нижнюю и верхнюю доверительные границы принимаются квантили этого распределения по соответствующему уровню. Нижняя доверительная граница определяется как квантиль по уровню e, а верхняя – как квантиль по уровню . Вид распределения оценки зависит, в свою очередь, от вида распределения исследуемой случайной величины и тех функциональных преобразований, которые производятся над исходной статистикой при получении оценок.

4.2.6. Примеры и задачи

4.2.6.1. На испытание поставлено 1000 однотипных ламп. За 3000 ч отказало 80 ламп, а за интервал от 3000 до 4000 ч отказало еще 50 ламп. Определить вероятность безотказной работы , вероятность отказа  для t = 3000 ч, 4000 ч и интенсивность отказов  для t = 3000 ч.

Решение.

Вероятность безотказной работы и отказа

р(3000) = (1000-80)/1000 = 0,92; ;

р(4000) = (1000-130)/1000 = 0,87; .

Интенсивность отказов

;

.

4.2.6.2. Общее количество изоляторов воздушных линий сетевого участка 200 000 шт. Наблюдение показало, что из взятых под наблюдение в начале года изоляторов в первом квартале вышли из строя 4000, во втором – 3000, в третьем – 2000, в четвертом – 1000. Рассчитать по этим данным и построить характеристику безотказности .

4.2.6.3. В аварийно-восстановительном ремонте находятся 15 однотипных масляных выключателей. Статистика восстановительных ремонтов такова:

t

n(t)

Определить статистические значения интенсивности восстановления на каждом интервале, среднюю продолжительность восстановления, среднюю интенсивность восстановления.

4.2.6.4. За наблюдаемый период эксплуатации участка системы электроснабжения было зафиксировано семь отказов. Время восстановления составило 8,2; 7; 8,4; 8,6; 7,4; 8; 7,9 ч соответственно. Определить среднее время восстановления системы.

4.3. Расчетные методы

4.3.1. Общий случай

Как уже отмечалось, эти методы применяются тогда, когда анализируется надежность объекта, представленного в виде системы, об элементах и связях которой известна вся информация (показатели надежности элементов, структура их взаимосвязей  и функциональное взаимодействие и т.д.).

Первоначально методы расчета разрабатывались для решения конкретных практических задач. Многообразие реальных задач и объектов породило множество различных методов, которые учитывали ту или иную специфику этих задач и объектов.

Определенная унификация этого множества методов стала возможной только за счет абстрагирования от специфики тех или иных задач, специфики объектов и построения модели некоторого абстрактного объекта. В итоге такой абстрактный объект представляет собой систему, состоящую из n элементов, функционально связанных между собой в общем случае любым необходимым способом, обеспечивающим выполнение объектом его функций, т.е. преобразование "входа" в "выход" (рис. 4.1). Для систем электроснабжения "входом" является, например, суммарная мощность питающих источников, изменяющаяся на рассматриваемом интервале времени в соответствии с заданным законом, а "выходом" – суммарная нагрузка на это же интервале, изменяющаяся в соответствии с суммарным графиком.

Каждый i-й элемент системы в общем случае может находиться в смысле надежности в  состояниях. Тогда объект-система может находиться в  состояниях.

Отказы и состояния элементов в общем случае могут быть зависимыми. Потоки отказов и восстановлений элементов в общем случае могут быть любыми (нестационарными, с последствиями или простейшими).

                                                       Система

                                                            . . .

"Выход"

"Вход"

                                                          . . .

                             . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рис. 4.1. Условное представление системы, состоящей из элементов

Задача состоит в выявлении состояний объекта-системы и событий перехода в состояния, обусловливающих изменение уровня работоспособности системы, а также вероятностные характеристики этих состояний и событий.

Решение такой задачи представляет большую методическую трудность. Поэтому реально разработанные методы имеют ряд допущений. Практически все они рассматривают объекты-систе-мы, элементы которых могут находиться только в двух состояниях – работоспособном и неработоспособном. Часть методов упрощает задачу при условии, что и сам объект-система имеет два состояния (точнее все множество состояний  разбивается на два подмножества). Другая группа методов упрощает задачу в предположении, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими. Далее все эти упрощения раскрываются при рассмотрении конкретных методов.

Как было отмечено, в общем случае задача состоит из двух подзадач: 1) выявление состояний системы и событий перехода в эти состояния; 2) определение вероятностных характеристик этих состояний и событий.

Особенности первой подзадачи определяются спецификой рассматриваемой системы. Наиболее простым для систем электроснабжения является случай, когда в любых состояниях системы не проявляются ограничения по пропускной способности элементов. Такая ситуация, как правило, может быть справедливой, например, при анализе надежности схемы соединений подстанции. В других случаях ограничения по пропускной способности элементов системы электроснабжения могут не сказываться при наиболее вероятных состояниях системы (например, при совпадении отказов на не более чем двух линиях, принимая, что совпадение более двух отказов на линиях – это весьма маловероятное событие, которым можно пренебречь). Методы определения состояний системы по состояниям элементов на уровне структурно-функциональных показателей рассматриваются в п. 4.3.2.

Однако во многих ситуациях для систем электроснабжения в некоторых состояниях неполной работоспособности системы ограничения по пропускной способности элементов сказываются на возможности передачи мощности от источников ("входов") к потребителям ("выходам"). Тогда приходится решать задачу потокораспределения в системе электроснабжения для таких состояний с ограничениями передачи мощности, оценивать возникающие дефициты и недоотпуски электроэнергии потребителям. Методы определения последствий для потребителей в таких состояниях путем расчета потокораспределения рассматриваются в п. 4.3.4.

Методы решения второй подзадачи – определения вероятностных характеристик состояний системы в зависимости от состояний элементов и событий перехода системы в эти состояния – изложены в п. 4.3.3.

Ранее для описания состояний объекта i использовались его переменные состояния (параметры)  и область допустимых значений с границей  Здесь, представляя объект в виде системы, будем состояния объекта-системы z описывать через состояния ее элементов . При этом состояние каждого элемента, в свою очередь, определяется его параметрами и областью допустимых значений, которые здесь специально не рассматриваются. Таким образом, при описании системы не будем углубляться внутрь элементов, а будем оперировать только внешними их характеристиками, в данном случае – характеристиками их состояний .

Тогда состояние системы z будет характеризоваться дискретной функцией

,                                                       (4.11)

принимающей значения от 0 до полного количества возможных состояний системы.

Далее для каждого состояния системы необходимо установить степень выполнения ею своих функций в этом состоянии, уровень работоспособности

.                                                    (4.12)

В итоге решение задачи будет заключаться в определении возможных уровней работоспособности системы и событий, которые приводят систему к этим состояниям (отказы и восстановления каких-либо элементов системы).

4.3.2.1. Графы состояний и переходов. Функционирование объекта представляется в виде графа состояний и переходов. Поясним его суть на примере систем, состоящих из одного и двух элементов. В случае одного восстанавливаемого элемента, который может находиться в двух состояниях (z = 1 – работоспособное, z = 0 – неработоспособное), граф имеет вид, представленный на рис. 4.2. В каждом из состояний система может "оказаться" в результате или перехода из другого, или сохранения своего прежнего состояния. Граф невосстанавливаемого элемента будет отличаться от изображенного на рис. 4.2 отсутствием стрелки от состояния z = 0 к состоянию z = 1. Для системы, состоящей из двух восстанавливаемых элементов, каждый из которых может находиться в двух состояниях, граф состояний и переходов будет иметь вид, показанный на рис. 4.3. Здесь z = 0 – состояние неработоспособности двух элементов; z = 1 – состояние неработоспособности только первого элемента; z = 2 – состояние неработоспособности только второго элемента; z = 3 – состояние работоспособности обоих элементов.

Рис. 4.2.  Граф состояний и переходов         Рис. 4.3. Граф состояний и переходов

    для одного элемента                                    для системы из двух элементов

Если элементы рассматриваемой системы невосстанавливаемые, то стрелки от состояний 0 к 1 и 2, а также от 1 и 2 к 3 отсутствуют.

В общем случае, когда система образована из n элементов, каждый из которых может находиться в двух состояниях, полное количество состояний системы равно .Состояние системы, из которого она не может выйти (на графе нет стрелок, отходящих от него к другим состояниям), называют поглощающим. Таким состоянием, например, является z = 0 в рассматриваемых системах, когда элементы невосстанавливаемые.

После того, как определены все состояния системы, необходимо идентифицировать их по степени, уровню работоспособности системы в этих состояниях. Если число уровней большое, целесообразно зависимость E(z) представить в виде таблицы. В табл. 4.1 для системы, состоящей из двух элементов, показан пример представления E(z). Если элементы в системе структурно соединены и функционально взаимодействуют так, как это соответствует варианту 1, то отказ наступает только при отказе обоих ее элементов. В общем случае, если функциональная связь элементов в системе такова, что отказ системы наступает только при отказе всех элементов, то такое соединение элементов называют параллельным соединением в смысле надежности.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология