Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒

Дифференциальное уравнение вида

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка. Если функции  определены и непрерывны на промежутке (a, b), то общее решение также определено на (a, b) и представимо в виде

где  – общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения

а  – частное решение неоднородного уравнения. Если ФСР однородного уравнения известна, общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации постоянных. Для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида применяется также метод неопределенных коэффициентов.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Класс функций специального вида составляют следующие функции:

1. Показательные

2. Тригонометрические (тангенсы и котангенсы сюда не входят);

3. Многочлены (в том числе постоянные);

4. Суммы и произведения (но не частные!) функций, перечисленных выше.

Другими словами, это такие функции, которые могут совпасть с частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Теорема 3.Если в линейном неоднородном дифференциальном уравнении

правая часть является функцией специального вида, такое уравнение имеет частное решение специального вида.

Назовем квазимногочленом функцию вида , где  – многочлены степеней k и l соответственно. Назовем его степенью – число , а показателем – комплексное число  Напомним, что однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, решается с помощью характеристических корней. Эти понятия позволяют сформулировать правила поиска частного решения, уточняющие теорему 3.

Правило 1. Если показатель правой части  не совпадает ни с одним из характеристических корней, искомое частное решение  является квазимногочленом степени m c показателем . (См. задачу 1.)

Правило 2. Если показатель правой части  совпадает с характеристическим корнем кратности r, искомое частное решение  является произведением квазимногочлена степени m c показателем  и сомножителя  (См. задачу 2).

Правило 3. Если правая часть  где  – частное решение уравнения ,

Последнее правило используют, если правая часть содержит слагаемые с разными показателями. Оно легко обобщается на любое количество слагаемых (см. задачу 3).

Метод вариации постоянных

Разберем метод вариации постоянных применительно к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям 2-го порядка. Напомним, что в этом случае линейное однородное уравнение

имеет общее решение вида . Общее решение неоднородного уравнения

будем искать в виде  где  – неизвестные функции. Их производные  удовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений

Основным определителем этой системы является определитель Вронского  поэтому система однозначно разрешима. С помощью формул Крамера можно получить для  следующие выражения

Отметим, что эти формулы проще вывести, чем запомнить. Кроме того, систему линейных алгебраических уравнений не всегда целесообразно решать методом Крамера.

Далее интегрированием находят . Заметим, что при этом способе решения задачи нет необходимости отдельно указывать частное решение .

Аналогично, в случае линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка общее решение ищут в виде  Неизвестные функции находят, решая систему линейных алгебраических уравнений

с последующим интегрированием.

Отметим, что при n=1 метод вариации постоянных совпадает (с точностью до обозначений) с методом Бернулли.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров