Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 7Следующая ⇒

 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) 2-го порядка в общем виде задается формулой

                              F(x, y, y’, y”) = 0,                                                       

а в виде, разрешенном относительно старшей производной – формулой

                              y” = f(x, y, y’).                                                                       

Задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения называется задача поиска решения y(x), удовлетворяющего начальным условиям

у(х₀) =у_0,            у’(х₀) =у₁.                                                      

Общим решением уравнения 2-го порядка называется зависимость                   у = j(x, С₁, С₂) такая что:

1) При фиксации любых допустимых значений С₁, С₂ получается решение ОДУ.

2) Для любых начальных условий найдутся единственные значения С₁, С₂, такие что зависимость у = j(x, С₁, С₂)– решение задачи Коши с этими начальными условиями.

Общих методов интегрирования ОДУ 2-го порядка нет. Иногда удается свести задачу к интегрированию ОДУ 1-го порядка. В этих случаях говорят, что ОДУ допускает понижение порядка. Ниже рассмотрены два основных типа таких ОДУ.

При решении задачи Коши не всегда целесообразно находить общее решение. Как правило, удобнее определять значение константы, возникшей при первом взятии интеграла, сразу. Это позволяет в дальнейшем обойтись без вычисления интеграла, зависящего от параметра. Примеры см. в задаче 3.

Уравнения без явной зависимости от у.

Если ОДУ 2-го порядка имеет вид y” = f(x, y’), то с помощью замены  его можно преобразовать в ОДУ 1-го порядка . Найдя общее решение вспомогательного уравнения , далее интегрированием находят

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США