Количество сумм цифр на игральных кубиках

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

9. Количество сумм цифр на игральных кубиках

Бросаются 3 простых игральных кубика. Определи, сколько различных сумм цифр можно получить.

Ответ:

Шаги решения:

Наименьшая сумма — (1+1+1)=3, наибольшая сумма — (6+6+6)=18.

Все возможные суммы: 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18.

Всего 16 различных сумм.

10. Вычисление числа треугольников

На прямой взяты 16 точек, а на параллельной ей прямой взяты 4 точ(-ки, -ек). Выясни, сколько существует различных треугольников, вершинами которых являются эти точки?

Ответ:

Шаги решения:

1) Так как в задаче дано два множества: первое — множество точек, лежащих на первой прямой, второе — множество точек, лежащих на второй прямой — то мы имеем дело со сложной комбинаторной задачей.

2) Разобьём эту задачу на две простые. Для того чтобы составить треугольник, необходимо взять три точки. На одной прямой все три точки взять нельзя, т. к. треугольник не получится, хотя бы одна точка должна лежать на другой прямой. Таким образом, нужно решить две задачи:

1. сколькими способами можно выбрать две точки из 16, лежащих на первой прямой, и сколькими способами можно выбрать одну точку из 4, лежащих на второй прямой?

2. Сколькими способами можно выбрать одну точку из 16, лежащих на первой прямой, и сколькими способами можно выбрать две точки из 4, лежащих на второй прямой?

Решим каждую сформулированную задачу:

1. так как в задаче опять речь идёт о выборе из двух множеств, то разобьём её на две задачи и решим каждую из них.

1.1. Сколькими способами можно выбрать две точки из 16, лежащих на прямой?
1.2. Сколькими способами можно выбрать одну точку из 4, лежащих на прямой?

Каждая из этих задач является простой комбинаторной задачей, решим их по алгоритму.

1.1. Число элементов в множестве, из которого выбираем n= 16.
Число элементов в выборке m= 4.
Характер выборки:

1) неупорядоченная (т. к. для составления треугольника неважно, в каком порядке будут выбраны точки), значит, результат необходимо делить на 2;

2) без повторений (т. к. одну и ту же точку два раза выбирать нельзя) (16⋅15).
Получим: 16⋅152=120.

1.2. Так как из множества в 4 точек выбираем одну, то это можно сделать 4 способами.

Определим закон, который используется в задаче 1. Так как мы выбираем точки по принципу: сначала две, а потом ещё одну — то для решения этой задачи применим принцип произведения, т. е. перемножим результаты, полученные в задачах 1.1 и 1.2. Получим: 120⋅4=480.

2. Задачу 2 решим аналогичным образом, в результате получим: 4⋅32⋅16=96.
Так как вершины треугольников можно выбрать или способом, описанным в задаче 1, или способом, описанным в задаче 2, то для того чтобы посчитать число способов таких выборов, найдём сумму полученных результатов. Получим: 480+96=576.

Правильный ответ: существует 576 различных треугольников.

11. Геометрическая комбинаторная задача

Определи, сколько прямых проходит через различные пары из 44 точ(-ек, -ки), три из которых не лежат на одной прямой.

Ответ:

.

Укажи формулу, которая подходит для решения задачи:

• n(n−1)3
• n(n−1)2
• n(n−1)

Шаги решения:

Одной из первых аксиом геометрии, относящейся к взаимному расположению точек и прямых на плоскости, является аксиома о том, что через любые две точки плоскости проходит единственная прямая.

Сначала рассмотрим задачи, идущие с нарастанием сложности.

1. Сколько прямых проходит через различные пары из трёх точек, не лежащих на одной прямой?

Ответ: 3.

2. Сколько прямых проходит через различные пары из четырёх точек, три из которых не лежат на одной прямой?

Ответ: 6.

3. Сколько прямых проходит через различные пары из пяти точек, три из которых не лежат на одной прямой?

Ответ: 10.

Далее перейдём к более сложному варианту:

4. сколько прямых проходит через различные пары из n точек, три из которых не лежат на одной прямой?

Решение

Пусть A1… An — n точек, три из которых не лежат на одной прямой. Для построения таких точек достаточно отметить их на окружности.

Выясним, сколько прямых проходит через точку A1 и оставшиеся точки. Так как число оставшихся точек равно n –1, и через каждую из них и точку A1 проходит одна прямая, то искомое число прямых будет равно n –1.

Заметим, что рассуждения, приведённые для точки A1, справедливы для любой точки. Поскольку всего точек n, и через каждую из них проходит n –1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n(n –1). Так как при указанном выше подсчёте мы каждую прямую посчитали дважды, число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, равно n(n−1)2.

В заданном случае n=44. Подставив значение в формулу, получим:

n(n−1)2=44⋅(44−1)2=946.

12. Анализ заданной ситуации

В группе 47 человек(-а). Из них 22 человек(-а) изучают английский язык, 17 — немецкий язык, 11 — оба языка. Вычисли, сколько человек не изучают ни одного языка?

Ответ: языки не изучают чел.

Шаги решения:

1. Сначала получим количество людей, изучающих английский или немецкий: 22+17=39.

2. Из полученного числа вычтем 11, так как столько человек изучают оба языка: 39−11=28.

3. Далее из общего числа вычтем полученное количество людей: 47−28=19.

Итак, правильный ответ: не изучают ни одного языка 19 чел.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров