Произведение всех натуральных чисел от 1 доnвключительно называется факториалом числа n и записываетсяn!(читается как «эн факториал»).

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Таблица

В отдельных случаях для систематизации данных составляются таблицы комбинаций.

Простой игровой кубик бросается 2 раза, и полученные пункты перемножаются. Сколько различных произведений можно получить?

Различные произведения — это 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 16; 18; 20; 24; 25; 30; 36 — всего 18 различных результатов.

2. Факториал

Теория:

Часто нужно с использованием закона умножения вычислить произведения натуральных чисел по порядку, начиная с 1.

Например, 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7 и т. д. Не всегда важно вычислить числовое произведение. Чтобы можно было короче записать выражения такого вида, в математике используется знак «!».

Произведение всех натуральных чисел от 1 доnвключительно называется факториалом числа n и записываетсяn!(читается как «эн факториал»).

n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n.

Принято, что 0!=1.

1!=1;

2!=2⋅1=2;

3!=3⋅2⋅1=6;

4!=4⋅3⋅2⋅1=24;

5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120;

6!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=720.

Пример:

сколькими различными способами можно составить список учеников, если в нём должно быть 25 различных учеников?

1⋅2⋅3⋅...⋅24⋅25=25!

Ответ: список можно составить 25! различными способами.

Примеры задач

1. Использование свойства факториала

Используя свойство факториала n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅(n−3)!,

сократи данную дробь и результат запиши как произведение чисел, начиная с наибольшего числа.

Ответ:

50!/46! =

⋅⋅⋅

Шаги решения:

n! — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅(n−3)!

50!/46!=(50⋅49⋅48⋅47⋅46!)/46!=50⋅49⋅48⋅47(46!/46!)=50⋅49⋅48⋅47.

(Обрати внимание: раскладывай больший факториал!)

2. Выбор элемента из двух групп

У Кости в двух карманах лежат конфеты. В одном кармане — 8 конфет «Ромашка», во втором кармане — 5 конфет «Трюфель». Костя вынимает одну случайную конфету из какого-либо кармана. Выясни, сколько существует способов это сделать.

Ответ:

одну конфету из одного или второго кармана можно вытащить

различными способами.

Шаги решения:

Чтобы решить эту задачу, используем закон сложения.

Если в двух группах нет одинаковых элементов и из одной группы один элемент можно выбрать n способами, а из другой — k способами, то выбрать один элемент из первой или второй группы можно n+k способами.

8+5 = 13.

Одну конфету из одного или второго кармана можно вынуть 13 различными способами.

3. Выбор элемента из трёх групп

В первой вазе — 11 яблок(-а), во второй — 7 груш(-и), в третьей — 4 апельсин(-ов, -а).

Случайно берётся один фрукт из любой вазы.

Определи, сколькими различными способами это можно сделать.

Ответ:

один фрукт из какой-либо вазы можно взять

различными способами.

Шаги решения:

Чтобы решить это задание, нужно использовать закон сложения.

Если в двух группах нет одинаковых элементов и из первой группы можно выбрать элемент n способами, а из второй — k способами, то выбрать один элемент из первой или второй группы можно n+k способами.

11+7+4 = 22.

Один фрукт из какой-либо вазы можно взять 22 различными способами.

4. Действия с факториалами

5. Число сочетаний, выбор двух элементов из группы

В магазине продаются 4 различных сорт(-а, -ов) йогурта. Сколькими способами Вика может купить 2 баночки йогурта разных сортов?

Ответ:

различными способами.

Шаги решения:

Обозначим баночки йогурта различных сортов цифрами 1, 2, 3...

1. Если выбираешь 2 баночки йогурта, не нужно соблюдать их порядок. Значит, нужно вычислить количество сочетаний.

Чтобы определить количество сочетаний, можно использовать древовидную диаграмму, но это очень трудоёмко.

Можно выбрать пары следующим образом:

1, 2, 3, 4.
Выбираем баночки йогурта:
1, 2... 1, 3... 1, 4;
2, 3... 2, 4;
3, 4.

Всего 6 различных пар.

6. Составление меню

Дано меню.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров