Часть1. Ревизия теоремы об изменении кинетического момента

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

1. Рассмотрим динамику горизонтально брошенного в поле тяжести Земли твёрдого тела массы mс начальной горизонтальной скоростью v1 (рис.2а):

В момент нахождения центра массы тела в точке О (начало декартовой прямоугольной системы координат, неподвижной относительно Земли, в которой мы будем рассматривать динамику тела) вектор v1 направлен вдоль оси OX, при этом на тело действует сила тяжести F=∆p/∆t≠0 вдоль оси OY (диссипативными силами и суточным вращением Земли пренебрегаем, а тело далее будем считать материальной точкой). При этом перемещение тела будет происходить в одной и той же плоскости vz=o криволинейно (по параболе) из точки О в точку М с ускорением, векторно направленным параллельно оси OY. За малый интервал времени ∆t = t2 -t1 (полагаем t1 = 0) оно пройдёт вертикальный путь:

∆y=F∙(∆t)^2/2m (1-1,1), отсюда

∆y/∆t=F∙∆t/2m=∆v/2 (1,1-2)

Поскольку ускорение свободного падения g вблизи поверхности Земли постоянно g=dv/dt=∆v/∆t=сonst, то

F/m=∆v/∆t=2∆y/(∆t)^2=сonst, dv/dt=2dy/(dt)^2=сonst (1,1-3)

Взяв отношение вектора перемещения ∆r= ∆x∙i+ ∆y∙j= OM ко времени перемещения, мы получим среднюю скорость точки:

∆r/∆t = ∆x∙i/∆t + ∆y∙j/∆t = v₁ + F∙∆t/2m = v₁ + ∆v/2 (1,1-4),

где i и j – единичные базисные вектора.

Точная же скорость точки в рассматриваемый момент времени t2 (точная скорость материальной точки в момент времени t1 нам известна по условию – это v1), согласно 2-му закону Ньютона:

v2 = v1+ F∙∆t/m = v1 + ∆v (1,1-5).

2. Теперь, не доверяя уравнению (2) (суть этого недоверия будет вскрыта несколько ниже), рассмотрим векторно-аналитически, от чего зависит изменение кинетического момента материальной точки (напомним, что под материальной точкой мы имеем полное право подразумевать центр масс системы тел, а применительно к вращательному движению – её центр инерции, который является точкой приложения главного вектора количества вращательного движения), имеющего в начальный (исходный) момент времени t1 величину L1=r1xp1=r1xmv1. Для этого приложим к телу силу F= ∆p/Δt ≠ 0, тогда параметры исходного вектора L1 получат приращения:

L2 = L1+∆L= (r1+∆r)x(p1+∆p) (1,2-1),

где согласно основополагающим азам дифференциального исчисления и 2-му закону Ньютона

∆r= v1∙∆t + F∙(∆t)^2/2m,  ∆r/∆t= v1 + F∙∆t/2m, ∆p= F∙∆t (1,2-1a).

Раскрывая скобки выражения (1,2-1) и вычтя из него исходный вектор L1, нельзя пренебрегать т.н. малыми 2-го порядка (!), поскольку речь идёт о законе количественного сохранения, который в теоретической механике приравнен к законам сохранения энергии и количества движения. Тогда получится следующее точное дифференциальное уравнение:

∆L/∆t = r1x∆p/∆t + (∆rx∆p)/∆t + ∆r/∆txp1 (1,2-2).

Для нашего примера (рис.2а) его можно упростить согласно выражениям (1,2-1а):

∆L/∆t = r1xF -(F∙∆t/2m)xp1 (1,2-3).

Если действие силы на точку удовлетворяет условию Мoе = r1·F= 0, однако вектора F и р1 непараллельны, тогда

∆L/∆t= -(F∙∆t/2m)xp1 ≠0, L≠сonst (1,2-4),

dL/dt= -(F∙dt/2m)xp1= -(Fxp1)∙dt/2m ≠0, L≠сonst (1,2-5).

Если модуль силы изменяется с течением времени, тогда левая часть этого выражения будет равна:

 (1,2-6).

Отсюда следует, что при условии Мo = 0 кинетический момент материальной точки может изменяться с течением времени, вопреки утверждению теоретической механики.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры