Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств
Содержание книги
- Практических работ по математике
- Критерии оценивания практических работ
- Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами
- Решение прикладных задач. Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому
- Решение логарифмических уравнений
- Геометрия раздел 3. Прямые и плоскости в пространстве
- Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол
- Задачи на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний
- Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми
- Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями
- Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве
- Скалярное произведение векторов
- Использование векторов при решении математических и прикладных задач
- Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства. Обратные тригонометрические функции
- Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс. Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой
- Основные тригонометрические тождества
- Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума
- Построение и чтение графиков функций. Исследование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функций
- Степенная функция, ее график и свойства
- Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции и их графики
- Геометрия раздел 8. Многогранники и круглые тела
- Усеченная пирамида. Тетраэдр
- Сечения куба, призмы и пирамиды
- Практическое занятие Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, додекаэдре и икосаэдре)
- Объем и его измерение. Интегральная формула объема
- Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.
- Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.
- Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере
- Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков
- Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.
- Раздел 10. Интеграл и его применение
- Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей
- Дискретная случайная величина, закон ее распределения
- Понятие о законе больших чисел .
- Решение практических задач с применением вероятностных методов
- Уравнения и системы уравнений
- Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств
- Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики
Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.
Цель работы:
обучающийся должен:
знать:
- этапы решения уравнений графическим методом;
уметь:
- строить графики элементарных функций;
- решать уравнения различными способами.
Сведения из теории:
Метод оценки области значений
Суть данного метода в сравнении областей значений выражений, входящих в уравнение. Часто такой анализ позволяет легко решать сложные уравнения, содержащие различные выражения (рациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные и др.). Разберем это на конкретном примере.
Пример 1. Решите уравнение, используя метода оценки области значений:  .
Решение: рассмотрим функцию  . Известно, что  , поэтому  . Итак, функция может принимать значения только из промежутка [0; 1].
Рассмотрим теперь функцию  . Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке (0; 1).
Т.е. область значений данной функции (те значения, которые может принимать переменная у) представляет собой промежуток [1; +∞).
Т.о. выражения, стоящие справа и слева от знака равенства в исходном уравнении, могут оказаться равными, только если их значения окажутся равными 1, причем при одном и том же значении х. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это условие выполняется при  .
Действительно,  и  . При всех остальных значениях х функция больше 1. Значит – единственный корень уравнения.
Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение с использованием метода оценки области значений:  .
Пример 2. Решите уравнение:  .
Решение: определим область допустимых значений (те значения, которые может принимать переменная х в данном уравнении). Исходим из того, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:
 .
Решая систему методом интервалов, получаем:
Т.о. область допустимых значений содержит одно единственное значение х =-2. Является ли это значение корнем уравнения, проще всего проверить прямой подстановкой:
 ,
 .
Т.е. х =-2 не является корнем уравнения.
Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение:  .
Пример 3. Решите уравнение:  .
Решение: помножим уравнение на  .
Вообще говоря, это преобразование не является равносильным, даже в области допустимых значений. Ведь могут найтись такие значения х при которых это выражение обратится в нуль. При таком преобразовании могут появиться посторонние корни, поэтому полученные ответы нужно будет проверить непосредственной подстановкой. Но главное, что в результате такого преобразования не произойдет потери корней.
Итак,
 
 ,
 .
Выражение во вторых скобках не может быть равно нулю. Действительно, оба корня, по крайней мере, неотрицательны, поэтому если к их сумме прибавить 1, получится положительное выражение. То есть остается, что
 или  .
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это корень данного уравнения:
 , 0=0. Ответ: 2.
Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение:  .
Контрольные вопросы:
1. Поясните суть метода оценки области значений при решении уравнений.
2. Какие нестандартные способы решения уравнений вы знаете?
Практическое занятие
|
