Оцінка параметрів гамма-розподілу

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 14Следующая ⇒

Оцінка параметра λ при відомому β. Математичне сподівання і дисперсія цього розподілу відповідно дорівнюють

Якщо то гамма-розподіл співпадає з експоненціальним, оцінки для якого розглянуті у попередньому розділі. Також, як і у випадку експоненціального розподілу, тут замість параметра спочатку оцінюється обернений параметр математичне сподівання.

Статистична модель. Вибірка одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами і . Треба побудувати довірчий інтервал для параметра . Розглянемо спочатку варіант, коли параметр відомий.

Довірчий інтервал будується на основі того факту, що випадкова величина , де точкова оцінка параметра θ, також має гамма-розподіл з параметрами , тобто не залежить від невідомого параметра θ.

Алгоритм побудови довірчого інтервалу для

1. Задаємо початкові дані моделі:

2. Обчислюються точкові оцінки середнього арифметичного m і параметра

.

3. Задається рівень значущості і визначаються квантилі гамма-розподілу , відповідно порядків , де – функція, обернена до функції гамма-розподілу з параметрами , . У Mathcad квантилі і обчислюються за функцією qgamma().

4. Обчислюються границі довірчого інтервалу для параметра і визначається його довірчий інтервал

5. Обчислюються границі довірчого інтервалу для параметра і визначається його довірчий інтервал

Приклад 2.11. Вибірка об’єму одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами Припускаючи, що параметр відомий – , а точне значення параметра невідоме, визначимо довірчий інтервал для математичного сподівання і параметра досліджуваної генеральної сукупності при рівні значущості

Розв’язання. За допомогою функції Mathcad rgamma(n, a) змоделюємо вибірку об’єму у припущенні, що генеральна сукупність має гамма-розподіл з параметром , де . Знаходячи точкову оцінку параметра і визначаючи відповідні квантилі гамма-розподілу, знаходимо довірчі інтервали для параметрів .

Алгоритм у Mathcad

Початкові дані

Моделювання вибірки із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами

Фрагмент вибірки

Вибіркове середнє і дисперсія

Точкові оцінки параметрів

Рівень значущості і відповідні квантилі гамма-розподілу

Границі довірчого інтервалу для параметра

Довірчий інтервал для параметра

Границі довірчого інтервалу для параметра

Довірчий інтервал для параметра

◄

Оцінка параметра β при відомому λ

Статистична модель. Вибірка одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами і . Припускається, що параметр відомий, а невідомий. Треба побудувати довірчий інтервал для параметра .

Довірчий інтервал будується на основі того факту, що випадкова величина де точкова оцінка параметра , також має гамма-розподіл з параметрами , тобто не залежить від невідомого параметра .

Алгоритм побудови довірчого інтервалу для

1. Обчислюється точкова оцінка .

2. Задається рівень значущості .

3. Визначаються квантилі , де – функція, обернена до функції гамма-розподілу з параметрами і .

4. Обчислюється довірчий інтервал з границями:

.

Приклад 2.12. Вибірка об’єму одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами Припускаючи, що параметр відомий – , а точне значення параметра невідоме, визначимо довірчий інтервал для параметра при рівні значущості

Розв’язання. Моделюємо вибірку об’єму у припущенні, що генеральна сукупність має гамма-розподіл з параметром , де . Знаходячи точкові оцінки середнього арифметичного і параметра визначаємо відповідні квантилі гамма-розподілу і знаходимо довірчий інтервал для параметра

Статистична модель. Вибірка одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами і . Припускається, що параметри і невідомі. Треба за даними вибірки оцінити невідомі параметри

Алгоритм побудови довірчого інтервалу для

Якщо невідомі обидва параметри і , то простого методу одержання їх інтервальних оцінок не існує. Оскільки для даного розподілу

і ,

на основі значень вибіркового середнього івибіркової дисперсії можна одержати оцінки цих параметрів у вигляді

Згідно з теорією визначення точкових оцінок параметрів розподілів за методом моментів для гамма-розподілу можна також скористатись співвідношеннями:

.

Із цих співвідношень для параметрів знаходимо такі оцінки

Приклад 2.13. Вибірка об’єму одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметром (вибірку генеруємо за допомогою функції ). Припускаючи, що параметри невідомі, визначимо довірчі інтервали для цих параметрів при рівні значущості

Розв’язання. Моделюємо вибірку об’єму у припущенні, що генеральна сукупність має гамма-розподіл з параметром Знаходячи точкові оцінки середнього арифметичного параметрів і відповідні квантилі гамма-розподілу, знаходимо довірчі інтервали для параметрів .

Алгоритм у Mathcad

Початкові дані

Моделювання вибірки

Фрагмент вибірки

Вибірковiхарактеристики гамма-розподілу: середнє арифметичне, середнє квадратичне відхилення і другий момент

Точкові оцінки параметрів , визначені на основі вибіркового середнього і вибіркового середнього квадратичного відхилення

Точкові оцінки параметрів , визначені за методом моментів на основі середнього арифметичного і вибіркового другого моменту

Як показують результати, оцінки параметрів, одержані за цими методами, співпадають. ◄

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?