Тема 1 Построение эпюр внутренних усилий

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 8Следующая ⇒

Методические указания

для самостоятельного выполнения контрольных заданий

при изучении курса “Сопротивление материалов”

Харьков 2014

Министерство образования и науки Украины

Харьковский НАЦИОНАЛЬНЫЙ университет

Строительства и архитектуры

Методические указания

для самостоятельного выполнения контрольных заданий при изучении курса “Сопротивление материалов”

для студентов всех специальностей

Утверждено

на заседании кафедры

строительной механики.

Протокол № 10 от 15.06.14.

Харьков 2014

Методические указания для самостоятельного выполнения контрольных заданий при изучении курса “Сопротивление материалов” для студентов всех специальностей / Составители: С.А. Ворончихина, А.В. Медведева, В.Ю. Мирошников, С.В. Олешкевич. – Харьков: ХНУСА, 2014. – 71 с.

Рецензент В.А. Воблих

Кафедра строительной механики

Введение

Основная цель изучения курса заключается в предоставлении дополнительной широты инженерных знаний, связанных с дисциплиной «Сопротивление материалов», умение правильно выбирать материалы и конструктивные формы, которые будут обеспечивать надежность и долговечность конструкций при соблюдении определенного уровня экономичности, правильно выбирать расчетные схемы, при выполнении расчетов типичных элементов конструкций, сравнении вариантов, нахождении оптимальных решений инженерных задач.

Методические указания и задания разработаны в соответствии с рабочей программой дисциплины «Сопротивление материалов» для самостоятельного выполнения контрольных заданий при изучении курса. Рабочая программа разработана на основе образовательно-профессиональной программы высшего образования Министерства образования и науки Украины за направлением «Промышленное и гражданское строительство».

В результате изучения дисциплины студент должен знать вид и характер нагрузок, характер поведения разных видов материалов и их механические характеристики, переход от реальной конструкции к ее расчетной схеме, виды деформаций упругих систем. Студент должен уметь выполнять расчет на прочность и жесткость для отдельных видов деформации и подбирать необходимые размеры сечений, для сжатого стержня выполнять расчет на устойчивость, четко представлять функциональную связь между внешними силами и законами распределения внутренних сил в элементах конструкции, анализировать причины появления и развития возможных повреждений и определять факторы разрушения материалов. Студенту необходимо ознакомиться с экспериментальными методами работы разных материалов конструкций под действием внешней нагрузки, определением физических характеристик материалов. Знание этих методов дает представление о работе отдельных конструкций в здании, что позволяет с более профессиональным подходом проектировать сложные архитектурные элементы.

Основными видами изучения дисциплины «Сопротивление материалов» есть лекции, лабораторные и практические занятия, а также самостоятельная работа студента. Дисциплина предусматривает изучение методов расчета на прочность, жесткость и устойчивость упругих тел при действии внешних сил, обеспечивает соответствующий уровень подготовки специалиста в общих инженерных науках.

Для усвоения дисциплины необходимо знание курсов таких дисциплин, как высшая математика, физика, теоретическая механика, строительные материалы.

Знания и практические навыки, приобретенные при изучении дисциплины, применяются в курсах строительной механики, металлических, деревянных и железобетонных конструкций.

В методических указаниях приведены контрольные задания для самостоятельного изучения курса с примерами и указаниями к их выполнению. Каждое контрольное задание должно содержать графическую часть, выполненную на стандартном листе бумаги, и пояснительную записку, в которой приведены все вычисления с необходимыми пояснениями в сокращенной форме.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 1

Таблица 1

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2

Таблица 2

Рисунок 2.2

Пример:

Определить геометрические характеристики плоского сечения (рис.2.3) и положение главных осей инерции: z^гл, у^гл.

Разбиваем данную фигуру на простые.

1 Выбираем произвольные оси Z, Y.

2 Определяем координаты центра тяжести сечения:

Уц.т_. = 7.4 см.

Zц.т_. = 2.4 см.

3 Вычисляем моменты инерции относительно осей центра тяжести сечения:

а) осевые

I_z = = 2264.42 см4.

I_y = = 384.42 см4.

б) центробежный

I_zy = = - 514.24 см4.

4 Определяем положение главных осей инерции: z^гл, у^гл.

tq2a₀₌= = +0,5471

2a₀ = + 280 41¢ a₀ = + 14020¢

Знак плюс означает, что угол a₀ нужно отложить против часовой стрелки.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 3

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 4

Таблица 4

Рисунок 3.3

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 5

Изгиб консольной балки

Для заданных схем балок (рис. 3.4) с размерами и нагрузками, которые следует взять соответственно собственному шифру из таблицы 5, необходимо:

1 Построить эпюры изгибающих моментов – М_z и поперечных сил – Q_y.

2 Подобрать прямоугольное поперечное сечение, соотношение сторон которого известно, а расчетное сопротивление на изгиб равняется:

R = 14 МПа = 1,4 кН/см2

3 Определить наибольшее касательное напряжение τ_max.

Таблица 5

Рисунок 3.4

Пример. Для заданной балки (рис 3.5) построить эпюры М_z и Q_y; подобрать прямоугольное поперечное сечение, соотношение сторон h/b = 1,4; расчетное сопротивление на изгиб R = 14 МПа = 1,4 кН/см2; определить наибольшее касательное напряжение τ_max.

1 Строим эпюры Q_y и М_z с использованием правила знаков приведенного на рис. 1.8

0 ≤х₁≤ 1,2м

Q_y= +8·х₁ х₁ = 0 Q_y = 0

х₁ =1,2м Q_y =+9,6кН

0 ≤ x₂ ≤ 0,8м

Q_y = 8·1,2 – 60 = - 50,4 кН

М_z = - 8 · 1,2 (х₂ + 0,6) + 60 х₂ + 45

Рисунок 3.5

2 Подбираем прямоугольное поперечное сечение при h/b = 1,4

R_изг = 1,4 кН/см2

см³

;

; 0,3 b³ = 5682 см²

см, b = 26,6см, h = 37,2см.

3 Определяем наибольшее касательное напряжение τ _max (рис. 3.6).

Q_y^max = 50,4кН b = 26,6см

Рисунок 3.6

S_z^{полусечение} = 26,6·18,6·9,3 = 4601,3 см³

τ_max = 0,08 кН/см²

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №6

Изгиб однопролетной балки

Для заданных схем балок (рис. 3.7) с размерами и нагрузкой, которые следует взять соответственно собственному шифру из таблицы 6 необходимо:

1 Построить эпюры изгибающих моментов M_z и поперечных сил Q_y.

2 Подобрать двутавровое поперечное сечение при расчетном сопротивлении

R = 220 МПа = 22кН/см2

3 Проверить прочность балки на срез при R_срез. = 130 МПа = 13кН/см2

Рисунок 3.7

Таблица 6

Пример. Для заданной балки (рис 3.8) построить эпюры M_z и Q_y; подобрать двутавровое поперечное сечение при расчетном сопротивлении R = 22кН/см²; проверить прочность балки на срез R_срез = 13кН/см²

1 Строим эпюры Q_y и M_z. Определяем опорные реакции

∑М_в = 0

- R_а ·5,1+16·2,5·3,85+20·7,9=0

R_а = +61,2кН

∑М_а = 0

+ R_в ·5,1-16·2,5·1,25+20·2,8=0

R_в = -1,2кН

∑F_у = 0 -20+61,2-16·2,5-1,2=0

0 ≤ x₁ ≤ 2,6м

M_z = -1,2·х₁ Qy= +1,2кН

0 ≤ x₂ ≤ 2,8м

Q_y= -20кН

M_z = -20·х₂

0 ≤ x₃ ≤ 2,5м

Q_y= -20+61,2-16· х₃

M_z = -20·(х₃ +2,8)+61,2·х₃ -

2 Подбираем сечение двутаврового профиля при R = 22кН/см²

По сортаменту (приложение А) принимаем двутавр №22, у которого I_z = 2790см⁴, S_z^{полусечение} = 143 см³, d = 0,54 см.

3 Проверяем прочность на срез R_срез = 13кН/см²

Условие прочности по касательным напряжениям выполняется.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 7

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 8

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 9

Определение перемещений

Для заданной схемы рамы (рис. 5.8) найти вертикальное перемещение сечения А - V_а и угол поворота сечения В - Ө_в от действия равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью - g и сосредоточенной силой

F = .

Данные берем из таблицы 9.

Таблица 9

Рисунок 5.8

Пример. Для заданной рамы (рис. 5.9) вычислить вертикальное перемещение сечения А-V_а и угол поворота сечения В - Ө_в .

1. Строим эпюру от внешней нагрузки М _F (рис 5.10)

0 ≤ x₁ ≤ 2,9м

М_F=-52 = = -26 х₁²

0 ≤ y₁ ≤ 2,9м

М _F = -62 y₁

Рисунок 5.9

0 ≤ x₂ ≤ 2,4м

М_F =62·2,9-

x₂ = 0 М _F = -38,8 кН·м

x₂ = 2,4м М _F = -550,5 кН·м

2. Вычисляем вертикальное пере-мещение в точке А-V_а.

Для этого в точке А прикладываем вертикально силу F = 1 и от ее действия строим эпюру (рис. 5.11). Полученную эпюру

умножаем на эпюру М_F на

Рисунок 5.10 одноименных элементах.

Рисунок 5.11

0 ≤ Х₁ ≤ 2,4м

= +1· x₁

При перемножении эпюр используем правило Верещагина.

Знак „минус” указывает на то, что перемещение сечения в точке А происходит в направлении противоположном единичной силе.

3 Определяем угол поворота поперечного сечения в точке В. Для этого в точке В прикладываем момент М = 1 и строим эпюру (рис. 5.12).

Для определения угла поворота сечения - Ө_в, перемножаем эпюры М _F (рис. 5.10) и по правилу Верещагина.

Рисунок 5.12

0 ≤ Х₂ ≤ 5,3м

__

М_В = +1

То есть поворот сечения в точке В происходит по часовой стрелке.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 10

Внецентренное сжатие

Для колонны с прямоугольным поперечным сечением (рис. 6.2) с размерами и нагрузкой которые следует взять в соответствии собственному шифру из таблицы 10 необходимо:

Рисунок 6.2

Вычислить нормальные напряжения в угловых точках контура поперечного сечения.

Построить эпюры нормальных напряжений на гранях сечения.

Определить положение нейтральной оси графически и аналитически (то есть определить отрезки, которые нулевая линия отсекает на координатных осях).

Расчет выполнить без учета собственного веса колонны.

Таблица 10

Пример. Дляколонны с прямоугольным поперечным сечением (рис 6.2) вычислить нормальные напряжения в угловых точках (1,2,3,4) контура поперечного сечения; построить эпюры нормальных напряжений на гранях сечения, а также определить положение нейтральной оси графически и аналитически и сравнить результаты обоих вариантов.

Исходные данные:

F = 150 кН, y_F = +12см, z_F = -12 см, а = 54 см (рис. 6.3)

Определяем нормальные напряжения в контурных точках сечения σ₁, σ₂, σ₃, σ₄.

N = F = 150кН, А = 54·75 = 4050см2

M_х = M_y = 150·12 = 1800 кН·см

Рисунок 6.3

Для определения знаков слагаемых M_z и M_y воспользуемся рис. 6.4.

Рисунок 6.4

σ₁= -0,037-0,035-0,049 = -0,121 (кН/см2)

σ₂= -0,037-0,035+0,049 = -0,023 (кН/см2)

σ₃= -0,037+0,035+0,049 = +0,047 (кН/см2)

σ₄ = -0,037+0,035-0,049 = -0,051 (кН/см2)

2 Строим эпюры нормальных напряжений по граням сечения по полученным значениям (рис. 6.5).

Рисунок 6.5

3 Определения положения нейтральной оси:

а) для графического построения нейтральной оси (н. оси) проектируем точки нулевых напряжений построенных эпюр σ (рис. 6.5) на контур сечения и соединив их прямой линией получаем графическое положение н. оси. Для точного определения положения н. оси сечение должно быть построено в масштабе;

б) аналитическое определение отрезков а_z и а_у, которые н. ось отсекает от координатных осей ОZ и ОУ.

Откладываем полученные отрезки на осях координат, соединяем полученные точки прямой, получаем нейтральную ось.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 11

Пример

Для заданного стального стержня двутаврового поперечного сечения центрально сжатого силой F (рис. 7.4) необходимо:

1 Подобрать поперечное сечение стержня (определить номер двутавра).

2 Определить критическую силу Fкр.

3 Вычислить коэффициент запаса на устойчивость – n.

Исходные данные:

F = 410 кН, = 2,9 м, σ_т = 240 МПа, [σ] = 160 МПа = 16 кН/см², Е=2·10⁵МПа, а = 310МПа, b = 1,14МПа.

Для правильного выполнения расчетов необходимо ознакомиться с разделом сопротивления материалов „Устойчивость сжатого стержня”, в частности той частью, которая относится к практическим расчетам на устойчивость. Подбор сечения сжатого стержня выполняют по условию устойчивости:

,

где N – продольная сила, что равняется силе F, прилагаемой к стержню;

А – площадь поперечного сечения сжатого стержня;

R = [σ] – допустимое нормальное напряжение на сжатие (расчетное сопротивление);

φ – коэффициент снижения расчетного сопротивления, безразмерная величина, которая зависит от гибкости стержня (λ).

,

где λ – гибкость стержня;

- длина сжатого стержня;

і_min – минимальный радиус инерции поперечного сечения сжатого стержня;

μ – коэффициент приведенной длины, зависит от условий закрепления стержня (рис. 7.2).

1 Сечение подбираем из условия устойчивости

Формула содержит две неизвестные величины: А и φ, поэтому расчет выполняем методом последовательных приближений, задавая φ произвольно (табл. 11).

а) первое приближение расчета:

φ₁ = 0,5; см2

Обращаемся к таблице сортамента ГОСТ 8239-89 – двутавры (приложение А). Ближайшее значение площади сечения к А₁ = 53,8 см², что отвечает двутавру № 33 минимальный радиус инерции которого і_у = 2,79 см. Тогда гибкость стержня двутавра № 33 равна, учитывая, что μ=0,7, а длина ℓ = 290 см

Определяем коэффициент φ₁', что отвечает гибкости λ₁ = 72,76 единиц:

б) второе приближение расчета:

За таблицей сортамента ближайшее значение площади А₂ = 40,2 см² І№27, і_min = 2,54см.

Соответственно, гибкость стержня с поперечным сечением І№27 равняется:

в) третье приближение расчета:

За таблицей сортамента ближайшее значение площади отвечает двутавру І № 24а; А₃ = 37,5 см2; і_min = і_у = 2,63

г) четвертое приближение:

За таблицей сортамента (приложение А) отвечает двутавру І№24 А=34,8см².

Признаком завершения процесса подбора сечения является получение двух близких значений коэффициента φ (погрешность до 2%) и выполнения условия прочности.

Проверим выполнение условия прочности:

11,78 ≤ 11,776

Окончательно подбираем сечение сжатого стержня І № 24 (рис 7.5).

А = 34,8 см²

I_z = 3460 см⁴; і_z = 9,97см

I_y = 198 см⁴; і_y = 2,37 см

2 Определяем критическую силу для заданного стержня. Формула для определения F_кр, зависит от величины гибкости, что подтверждается известным графиком зависимости σ и λ (рис.7.1).

Гибкость менее ста единиц. Тогда критическое напряжение равняется:

Рисунок 7.5 σ_кр = а - b λ = 31-0,114·85,65 = 21,24 кН/ см²

F_кр = σ_кр · А^І = 21,24 · 34,8см² = 738,99кН

3 Коэффициент запаса на устойчивость равняется:

Из теоретических исследований известно, что для стальных длинных сжатых стержней значение коэффициента запаса на устойчивость лежит в границах: n = 1,5 ÷ 3.

Полученный ответ находится в необходимых границах.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Сортамент прокатной стали в соответствии с ГОСТ 8239-72*, 8240-72*, 8510-72

Двутавры

Таблица А.1 - Сортамент прокатной стали - двутавры

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Швеллеры

Таблица Б.1 - Сортамент прокатной стали – швеллеры

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Уголки равнобокие

Таблица В.1 - Сортамент прокатной стали -уголки равнобокие

Продолжение таблицы В.1

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров