В силу безарбитражностпи рынка на нем невозможно получение безрискового дохода, более высокого, чем безрисковая процентная ставка.

Полученные формулы дают возможность установить стоимость опциона для случая, когда неизвестны пределы изменения цены финансового инструмента за весь период I при заданных значениях Ь и к (в предположении, что они не меняются от шага к шагу).

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

А именно, имеет место формула 1

ХФ?'' \1-чТ-¹-4-тУ-к^т~⁽■$)

1=0

(14.31)

Докажем ее по индукции. Действительно, при т = 1 она превращается в (14.30) и потому верна. Пусть она верна и при некотором га. Подставляя (14.29) в (14.31) и собирая вместе члены с одинаковыми степенями Ь, после несложных алгебраических преобразований получим:

С({,5) =

(1+ДГ

т+1..

1=0

т. е. ту же формулу (14.31), но уже для (т + 1). Таким образом, формула (14.31) верна, и из нее при т = I получается:

С(1,5) =

(1+*У

2С#-(1-$у-*.ф,А'•*'-'.5)

1=0

(14.32)

В это выражение входит цена с(о,#' • к¹ ' ■ 5)= тахр' ■ к' ' • 5 - Х,о}. Но

при Ъ>к величина 5Ь' -к¹'¹ =5-к¹ ■ — — монотонно возрастающая

функция от г. Поэтому при некотором целом г' она станет (и в дальнейшем останется) больше, чем Х-. такое г" будет наименьшим целым чис-

лом, превышающим

1п|Ч

*т

Если г">0, в формуле (14.32) все члены

с /</' равны нулю. Поэтому в качестве нижнего предела суммы в (1432) можно подставить г'*=тах {0, Г}, и мы приходим к искомой формуле (14.23). ■

14.5-4. *Стоимость опциона американского типа

При рассмотрении опционов американского типа основные вопросы, связанные с их расчетом как при дискретном, так и при непрерывном времени, следующие:

• какова рациональная стоимость опционных контрактов с заданной системой платежных функций;

Глава 14. О некоторых нетрадиционных подходах к оценке инвестиций

• каков рациональный момент предъявления опциона покупателю к исполнению;

• какова оптимальная хеджирующая стратегия продавца опциона, обеспечивающая выполнение контрактных условий.

Достаточно полный и строго аргументированный ответ на все эти вопросы дан в [72, 130]. Ниже рассмотрим лишь некоторые относящиеся к ним фрагменты.

Нетрудно показать, что стоимость американского опциона "колл" на актив, не приносящий доходов, совпадает со стоимостью европейского опциона "колл", так как в этих условиях досрочная реализация опциона нецелесообразна.

Для американского опциона "колл" на актив, обеспечивающий дискретный доход, аналогом формулы Блэка—Шоулза является формула Ролла, Геске и Вейли [149, 1б9, 177], которую можно записать как

С_а(5,1) = (5-е-^г1°а)Р(х_а)-е-^г1\Х-а)р(-х_а + о4Г₀)₊ -е~^г1ХР₂(х_а -су^,о-^-г_а-^71),

где С_а(5,1) — стоимость американского опциона "колл"; 5 — текущая цена базового актива; I — срок действия опциона;

й — объем выплаты, получаемой владельцем актива во время срока действия опционного контракта;?₀ — время до выплаты; X — цена выполнения опциона;

Р(") — функция стандартного нормального распределения, ^С-*.*) ~ Функция двумерного стандартного распределения (первый и второй аргументы — значения переменных, третий аргумент — коэффициент корреляции);

_ 1п({5-е^г1аа)/Х) + (г + а² /2)1
^Ха~ ал/7 ^;

~ _ 1п((5-е^г^)/5) + (г + а²/2);₀

5 — решение уравнения С(5,1₀)= 5 - X + с1, где С(У₀) - стоимость европейского опциона "колл" с ценой выполнения 5 и сроком {₀.

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

Стоимость рассматриваемого типа опциона, позволяющего его реализовать в любой момент времени не позже даты исполнения, естественно, не ниже, а обычно несколько выше аналогичного европейского опциона. Это превышение стоимости, называемое премией досрочного выполнения, связано именно с возможностью выбора наиболее подходящего момента времени из допустимого интервала для реализации опциона. Однако сама эта величина премии, как показывают и теоретические оценки, и зарубежная практика, относительно невелика, и поэтому для оценки американских опционов "колл" часто используют формулы для европейского опциона. Оценку же стоимости американского опциона "пут" нетрудно найти, опираясь на теорему Столла о паритете стоимости опционов на покупку и продажу.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры