Тема 14. Парная линейная регрессия

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 15Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Справочный материал

· Регрессия Y на Х – функция зависимости математического ожидания переменной случайной величины Y от переменной случайной величины Х.

· Линия регрессии Y на Х – график функции регрессии Y на Х.

· Диаграмма рассеяния – нанесенные на координатную плоскость точки выборки двумерной случайной величины {(х_j, y_j)}.

· Метод наименьших квадратов – оценка числовых параметров, входящих в выбранное уравнение линии регрессии y = y (х), обеспечивающая наилучшее приближение графика этой линии ко всем точкам {(х_j, y_j)} выборки, путем минимизации функции соответствующих параметров .

· Выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х: y = а + bх, где числовой параметр а – свободный член; числовой параметр b –коэффициент регрессии; b = , а = , и – выборочные средние случайных величин Х и Y, – выборочная дисперсия случайной величины Х, – выборочная ковариация Х и Y: = = , – выборочное среднее произведения случайных величин Х×Y: = .

· Выборочный коэффициент корреляции – точечная оценка меры тесноты (степени проявления) линейной корреляционной зависимости между двумя случайными величинами X и Y: , где , – выборочные СКО случайных величин Х и Y соответственно.

· Значимость линейной корреляционной связи между переменными X и Y по величине коэффициента корреляции в случае, когда объем выборки n >> 1, предлагается оценочно определять следующим образом:

Ø если = 0, то между X и Y линейная корреляционная связь отсутствует (при этом не исключена нелинейная корреляционная зависимость этих величин);

Ø если | | < , где n – объем выборки, то линейная корреляционная связь между X и Y маловероятна, то есть, может считаться незначимой;

Ø если ≤ | | ≤ 0,6, то между X и Y линейная корреляционная связь достаточно вероятна;

Ø если 0,6 < | | ≤ 0,8, то между X и Y линейная корреляционная связь тесная;

Ø если 0,8 ≤ | | < 1, то между X и Y линейная корреляционная связь очень тесная;

Ø если | | = 1, то X и Y распределены по нормальному закону и между ними имеет место линейная функциональная связь, то есть, Y = А + ВX.

· Алгоритмическая схема построения уравнения линейной регрессии y = а + bх по таблице статистической зависимости переменных случайных величин X и Y:

1) Определить объем выпорки n.

2) Найти выборочные средние = ; .

3) Заполнить расчетную таблицу:

j	х –	y –	(х – )2	(y – )2	(х – )∙(y – )
…
n
			∑(х – )2	∑(y – )2	∑(х – )∙(y – )

4) По значению сумм в трех последних столбцах, вычислить выборочные дисперсии , и выборочную ковариацию делением этих сумм на объем выборки n соответственно.

5) Найти выборочные стандартные отклонения и , и выборочный коэффициент корреляции = . По значению │ │ сделать вывод о значимости линейной корреляционной связи между переменными X и Y.

6) Найти параметры выборочного уравнения линейной регрессии Y на X: y = а + bх, где b = , а = .

7) Построить график прямой y = а + bх (желательно на фоне диаграммы рассеяния точек {(х_j, y_j)} выборки).

· Интерполяция – получение оценки математического ожидания значения переменной случайной величины Y для произвольного фиксированного значения в пределах интервала полученных вариант переменной величины X; точность оценки значения = а + b при интерполяции совпадает с точностью, с которой получено само выборочное уравнение регрессии.

· Экстраполяция – получение оценки математического ожидания значения переменной случайной величины Y для произвольного фиксированного значения вне интервала полученных вариант переменной величины X; точность оценки прогнозного значения = а + b при экстраполяции определяется доверительным интервалом: – d < M (y)_{фактич.} < + d, где d = t_γ (g, n– 1)× s (), g – доверительная вероятность, t_γ (g, n– 1) – коэффициент Стьюдента, n – объем выборки, средняя стандартная ошибка прогноза .

Задачи

14.1. В таблице приведены статистические данные числа дорожно-транспортных происшествий Y (в тыс.) в регионе в течение соответствующего года X:

В предположении линейной модели парной регрессии составить выборочное уравнение регрессии Y на X и определить прогнозное значение в 2015 году

Указание: для упрощения расчетов года отсчитывать от 2000-го года.

14.2. В таблице приведены среднее содержание в пробах руды окиси железа X и закиси железа Y в %:

В предположении линейной модели регрессии составить выборочное уравнение регрессии Y на X и сделать вывод о тесноте линейной корреляционной связи между рассматриваемыми переменными величинами.

14.3. В таблице приведены данные по основным фондам X однотипных предприятий (в млн. руб.) и средней себестоимости единицы продукции Y (в руб.):

В предположении линейной модели регрессии составить выборочное уравнение регрессии Y на X и сделать вывод о тесноте линейной корреляционной связи между рассматриваемыми переменными величинами.

14.4. В таблице приведены данные по ежегодным объемам средств, расходуемым предприятием-изготовителем на рекламу различной продукции X, и ежемесячным объемам реализации соответствующей продукции Y (в приведенных денежных единицах):

В предположении линейной модели регрессии составить выборочное уравнение регрессии Y на X и сделать вывод о тесноте линейной корреляционной связи между рассматриваемыми переменными величинами.

14.5. В таблице приведены данные по показателю использования в нескольких конструкторского бюро современных информационных технологий в условных единицах X и относительным срокам нахождения в этих бюро оптимального технического решения Y:

В предположении линейной модели регрессии составить выборочное уравнение регрессии Y на X и сделать вывод о тесноте линейной корреляционной связи между рассматриваемыми переменными величинами.

14.6. Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии y = a + bx по выборочным данным случайных величин Х и Y:

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1.

Значения функции стандартного распределения j (x) =

Приложение 2.

Значения нормированной функции лапласа F (x) =

Приложение 3.

Значения функции для 0 ≤ x< 1, e ≈ 2,7183

Примечание

1. Значения функции e ^{– x}, содержащей только тысячные доли в показателе, приведены в таблице

2. При расчете значений функций с показателем степени, содержащим десятые, сотые и тысячные доли, можно использовать обе вышеприведенные таблицы. Например, e ^{– 0,825}= e ^{– 0,82}∙ e ^{– 0,005} ≈ 0,4404 ∙ 0,9950 ≈ 0,4382.

3. При расчете значений функции e ^{– x} при x ≥ 1 можно использовать алгебраические преобразования. Например,

e ^{– 1}≈ ≈ 0,3679;

e ^{– 1,5}= e ^{– 1}∙ e ^{– 0,5}≈ 0,3679 ∙ 0,6065 ≈ 0,2231 или e ^{– 1,5}= e ^{– 0,75}∙ e ^{– 0,75}≈ (0,4724)² ≈ 0,2231;

e ^{– 3,5} = e ^{– 3}∙ e ^{– 0,5}≈ (0,3679)³∙ 0,6065 ≈ 0,0302.

4. Для получения значения функции с любой требуемой точностью можно использовать формулу разложения этой функции в ряд Маклорена, сходящийся для всех x:

(при этом погрешность получаемого значения функции определяется абсолютной величиной первого отброшенного члена ряда).

5. При расчете значений функции с положительным показателем можно воспользоваться соотношением e ^а ≈ ^{– а}. Например, e ^0,825 = 1/ e ^{– 0,825} ≈ 1/0,4382 ≈ 2,282.

Приложение 4.

Значения коэффициентов стьюдента t_γ = t (γ, n)

(n – объем выборки, γ – доверительная вероятность)

Приложение 5.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США