Соотношения между азимутами (дирекционными углами) и румбами

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 42Следующая ⇒

Четверть

Вычисление

Численное значение

Румба

Азимута

румба

Азимута

I – СВ

II – ЮВ

III – ЮЗ

IV – СЗ

r 1 = СВ: А 1

r 2 = ЮВ:(180° – А 2)

r 3 = ЮЗ: (А3 – 180°)

r 4 = СЗ: (360° – А 3)

А 1 = r

А 2 = 180° – r 2

А 3 = 180° + r 3

А 4 = 360° – r 4

СВ: 41° 34'

ЮВ: 42° 58'

ЮЗ: 60° 12'

СЗ: 56° 03'

41° 34'

137° 02'

240° 12'

303° 57'

Обратный румб r' дирекционного направления отличается от прямого румба r

только наименованием четверти, например, если прямой румб r = СВ: 41° 34',

то обратный румб r' = ЮЗ: 41° 34'. При вычислении обратных румбов для азиму-

тальных направлений следует учитывать сближение меридианов γ.

Прямая и обратная геодезические задачи

системах плоских

прямоугольных

координат

многие

инженерно-

геодезические расчеты основаны на формулах решения прямой и обратной геоде-

зических задач.

В прямой геодезической задаче известны горизонтальное проложение d

прямого отрезка 1-2 (рис. 3.6, а), его дирекционный угол α, координаты х 1 и у 1 на-

чальной точки 1. Требуется вычислить координаты х 2 и у 2 точки 2.

Сначала вычисляют приращения координат, равные катетам прямоугольного

треугольника 1-Е-2

∆х = d cos α = d cos r;

затем искомые координаты

х 2 = х 1 + ∆х;

∆у = d sin α = d sin r,

у 2 = у 1 + ∆у.

(3.10)

(3.11)

Знак приращений координат ∆х и ∆у

зависит от направления отрезка 1-2

(рис.3.4, б) и соответствует знаку cos α и sin α.

При вычислениях с использованием румба r (положительного числа) соответ-

ствующе значения ∆х и ∆у необходимо записывать со знаком “плюс” или “минус”

в соответствии с рис. 3.4, б.

Рис. 3.6. Прямая и обратная геодезические задачи:

а – прямая и обратная задачи; б – знаки приращений координат, дирекционные углы

и румбы при различных направлениях 1‒2

Пример 1. Вычислить координаты х 2, у 2 точки 2, если длина линии 1-2 d 1-2 =

100,00 м, ее дирекционный угол α1-2 = 125° 20'; координаты точки 1: х 1 = 500,00

м; у 1 = 1000,00 м.

В

Р е ш е н и е. Для вычислений следует использовать дирекционный угол. Если

применить румб, то его значение r 1-2 = ЮВ: (180° – α1-2) = ЮВ: 54°40'. Затем

находим ∆х = 100,00·cos 54° 40' = 57,83 м; ∆у = 100·sin 54° 40' = 81,58 м. Определив

знаки –∆х и +∆у для направления ЮВ (см. рис. 3.6, в) вычисляем х 2 и у 2:

х 2 = 500,00 – 57,83 = 442, 17 м;

у 2 = 1000,00 + 81,58 = 1081,58 м.

В обратной геодезической задаче по известным прямоугольным координатам

х 1 и у 1, х 2 и у 2 конечных точек отрезка прямой 1-2 (см. рис. 3.4, а) вычисляют гори-

зонтальное проложение d, румб r 1-2 и дирекционный угол α1-2. Вначале вычисля-

ют тангенс румба (см. рис. 1,9, а):

tg r 1-2 = ∆у / ∆х = (у2 – у 1)/(х2 – х 1),

(3.12)

а затем численное значение румба: r = arc tg (∆у / ∆х).

По знакам разностей (у2 – у 1) и (х2 – х 1) определяют название четверти румба (см.

рис. 3.4, б) и вычисляют дирекционный угол (см. табл. 1.3). Длину отрезка 1-2 на-

ходят по двум из следующих формул:

d = ∆х / cos α; d = ∆у / sin α; d = √ ∆х2 + ∆у2.

(3.13)

Пример 2. Вычислить длину d 1-2 и дирекционный угол α1-2 линии 1-2, если из-

вестны координаты точек 1 и 2: х 1 = 200,00 м; у 1 = 400,00 м; х 2 = = 286,34 м; у 2 =

349,54 м.

Р е ш е н и е. По формуле (3.12) рассчитаем tg r 1-2 =

(349,54 – 400,00) /

(286,34 – 200,00) = – 50,46 / +86,34 = – 0,58443,

а также arc tg (∆у /∆х) = = –

30,299° = – 30° 17,9'. По знакам +∆х (к северу) и –∆у (к западу) найдем r 1-2 = СЗ:

30° 17,9', затем дирекционный угол α1-2 = 360° – 30° 17,9' = 329° 42,1'. По форму-

лам (3.13) с контролем вычислим d 1-2 = 86,34 / cos 329° 42,1' = 86,34 / cos 329,702°

= 86,34 / 0,86341 = 100,00 м;

контроль: d 1-2 = √ 86,342 + 50,462 = 100,00 м.

ЛЕКЦИЯ № 4

Топографические карты и планы. Понятие о карте, плане, профиле.

Масштабы, их точность. Номенклатура

топографических карт

4.1. Понятие о картах, планах и профилях. Масштабы

Обширные территории изображают на картах в определенном масштабе. Под

масштабом карты подразумевают отношение длины отрезка на карте к длине соот-

ветствующего отрезка на местности. Масштаб карты выражается в виде обыкно-

венной дроби, числитель которой равен единице. Например, масштаб, равный 1:

100 000, указывает на то, что отрезок на местности изображается на карте в среднем

уменьшенным в 100 000 раз, или один сантиметр на карте соответствует одному

километру на местности. Контуры и точки земной поверхности, отнесенные к по-

верхности земного эллипсоида или шара, проецируют на картинную плоскость по

определенным математическим законам, используя методы генерализации и обоб-

щения. Высоты точек и рельеф местности на картах отображаются в Балтийской

системе высот.

Топографические карты создают в конформной проекции поверхности эллип-

соида на плоскости в масштабах 1: 1 000 000

(одна миллионная) и более крупных

(1: 500 000; 1: 300 000; 1: 200 000; 1: 100 000; 1: 50 000; 1: 25 000; 1: 10 000).

Для ограниченного по размерам участка земной поверхности, когда кривизной

поверхности земного эллипсоида можно пренебречь, его проецируют на горизон-

тальную плоскость, проходящей на средней высоте участка. Так составляют топо-

графический план. Топографический план представляет собой уменьшенное и по-

добное изображение контуров и рельефа участка местности в ортогональной

проекции на горизонтальную плоскость.

Картографирование населенных мест, промышленных предприятий, дорожных

сетей, подземных коммуникаций, водных и других объектов необходимо для инже-

нерного обеспечения их функционирования. При проектировании таких объектов

используют топографические планы, а также специальные строительные чертежи,

которые составляют в масштабах 1: 200; 1: 500; 1: 1000; 1: 2000; 1: 5000. На них

показывают существующие объекты и проектируют новые поверхностные и под-

земные сооружения. На исполнительных чертежах (исполнительных планах) со-

оружений линейного вида отображают все построенные наземные и подземные

объекты (дороги, трубопроводы, кабели, тоннели и др.).

К картографическим материалам относят также и профили – вертикальные раз-

резы местности, наземных и подземных сооружений, инженерно-геологические

разрезы. Профилем называется уменьшенное изображение вертикального разреза

земной поверхности вдоль выбранного направления.

При составлении профиля земной поверхности для большей выразительности

чертежа вертикальный масштаб 1: Мв берут в 10 раз крупнее масштаба горизон-

тального 1: Мг. Специальные инженерные профили дополняют инженерно-

геологическими разрезами местности вдоль выбранного направления и используют

для проектирования наземных и подземных сооружений линейного вида (дороги,

трубопроводы, каналы, тоннели и т.д.), на них отображают вертикальные разрезы

построенных сооружений.

Для удобства использования масштабы топографических чертежей и профи-

лей представляют в численном виде и в графической форме.

Численный масштаб 1: М выражает отношение длины отрезка d п на плане к

длине горизонтального проложения d соответствующего отрезка на местности:

1: М = d п: d.

(4.1)

Знаменатель М численного масштаба характеризует величину уменьшения го-

ризонтальных линий местности при их изображении на плане:

М = d: d п.

(4.2)

Если d = 100 м, d п = 10 см, то М = 100 м: 10 см = 10 000 см: 10 см = 1000, т.

е. численный масштаб 1: М = 1: 1000 (одна тысячная).

Численный масштаб часто указывается в словесной форме, например “в 1 см -

10 м” – для плана масштаба 1: 1000.

Линейный масштаб представляет собой отрезок прямой, на котором несколько

раз отложен отрезок а, называемый основанием масштаба. На рис. 4.1, а основание

а равно 2 см, левый крайний отрезок разделен наименьшими делениями на

равных частей. Для плана масштаба 1: 5000 (в 1 см 50 м) основанию, равному

2 см, соответствует расстояние на местности d = 100 м, поэтому деления а подпи-

саны через 100 м. Каждое наименьшее деление левого крайнего отрезка а кратно

10 м, но десятые доли таких делений (сотые доли основания а) оцениваются визу-

ально и кратны 1 м. Расстояние s1, снятое с плана циркулем-измерителем равно 300

+ 30 + 4 = 334 м.

На рис. 2.1, б основание а = 1 см. Для плана масштаба 1:1000 (в 1 см 10 м) отре-

зок d 2 = 700 + 60 + 6 = 766 м.

Поперечный масштаб (рис. 4.2) предназначен для более точных измерений по

плану. Его гравируют на металлических масштабных линейках. Для графического

построения поперечного масштаба на бумаге прочерчивают 11 параллельных пря-

мых отрезков через 2,5 или 3 мм. Перпендикулярно им прочерчивают отрезки АС,

ВD, …, KL через равные промежутки а = СD выбранного основания масштаба. Ле-

вые отрезки СD и АВ разделяют десятью метками через 0,1а долю основания.

Метки В и Е соединяют наклонным прямым отрезком, параллельно ВЕ прочерчи-

вают остальные наклонные отрезки. В треугольнике ВЕD длина ЕD = 0,1а. Гори-

зонтальные отрезки 0,01а; 0,02а; … 0,09а; 0,10а, ограниченные его сторонами,

представляют сотые доли основания.

При основании а = 2 см (см. рис. 2.2.) для плана масштаба 1:2000 (в 1 см 20

м) находим цену основания а ц = 40 м и отрезок s 3 в делениях поперечного масшта-

ба s' 3 = 2ац + 4(0,1ац) + 3,5(0,01ац) = 2,435ац или d 3 = = 2,435 · 40 = 97,4 м.

Или же непосредственно по масштабу отсчитываем d 3 = 80 + 16 + 1,4 = 97,4 м.

Точность масштаба. Понятие точности масштаба соответствует способно-

сти человека с расстояния 25–30 см различать невооруженным глазом на плане точ-

ку диаметром около 0,1 мм. Точностью масштаба t называют горизонтальный от-

резок ∆d на местности, соответствующий

плане масштаба 1 / М:

t(м) = 0,0001 М.

отрезку длиной 0,1 мм = 0,0001 м на

(4.3)

Например,

точность масштаба 1: 500 (в 1 см 5 м) будет

равна t = =

0,0001 · 500 = 0,05 м.

а

Рис. 4.1.Линейный масштаб:

а – с основанием а = 2 см; б – с основанием а = 1 см.

Рис. 4.2. Поперечный масштаб

Погрешности расстояний, измеренных по плану (карте). По ряду причин

(погрешности съемочных работ, составления планов, печатания копий топографи-

ческого чертежа, деформаций бумажной основы) изображения объектов местности

на карте или на рабочем плане находятся каждое не на своем месте, а со средним

отклонением от него (δху)п ≈ 0,2–0,4 мм (в отдельных случаях отклонения достига-

ют 0,7–1 мм). Расстояние d п, измеряемое между такими точками по плану масштаба

1:М, получается со средней вероятной погрешностью δdп = (δху)√2 ≈ 0,4–0,6 мм.

Средняя погрешность расстояния, измеренного по карте, оценивается по формуле

∆d = δdп · М = 0,0005 М.

(4.4)

Например, по плану масштаба 1: 1000 расстояния определяются со средней по-

грешностью ∆d = 0,0005 · 1000 = 0,5 м. Если по такому плану с помощью попереч-

ного масштаба определен отрезок d п = 155,3 мм, то на местности d = d п · М =

0,1553 · 1000 = 155,3 м, и оценка средней погрешности результата составляет

∆d = δdп · М = 0,0005 · 1000 = 0,5 м. Окончательная запись данного результата: d =

155,3 ± 0,5 м. Следовательно, с учетом неизбежных допустимых графических по-

грешностей плана, измеряемые по нему расстояния, при необходимости указания

его точности, следует характеризовать выражением

d = d п М + δdп М = d п М + 0,0005 М.

Переходный масштаб. Иногда в практике приходится пользоваться картой или

аэроснимком, масштаб которых не является стандартным, например, 1:17500, то

есть, 2 см на карте соответствуют 350 м на местности; наименьшее деление нор-

мального поперечного сотенного масштаба будет при этом 3.5 м. Оцифровка тако-

го масштаба неудобна для практических работ, поэтому поступают следующим об-

разом. Основание поперечного масштаба берут не 2 см, а расчитывают так, чтобы

оно соответствовало круглому числу метров, например, 400 м. Длина основания в

этом случае будет a = 400 м / 175 м = 2.28 см.

Если теперь построить поперечный масштаб с длиной основания a = 2.28 см,

то одно деление левого основание будет соответствовать 40 м, а цена наименьшего

деления будет равна 4 м. Поперечный масштаб с дробным основанием называется

переходным.

Кроме понятия "точность масштаба" существует понятие "точность плана".

Точность плана показывает, с какой ошибкой нанесены на план или карту Точеч-

ные объекты или четкие контуры. Точность плана оценивается в большинстве слу-

чаев величиной 0,5 мм; в нее входят ошибки всех процессов создания плана или

карты, в том числе и погрешности графических построений.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте