Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 9Следующая ⇒

Гильом Франсуа де Лопиталь (1661 - 1704) – французский математик

Во многих случаях отыскание предела функции, заданной аналитически, при стремлении аргумента к некоторой точке (к конечному числу или к одной из бесконечностей: ,+ , – ) выполняется путем формальной подстановки соответствующего значения вместо аргумента в аналитическую формулу функции. В результате таких операций очень часто приходят к выражениям вида: , , , , , , . Такие выражения называются неопределенностями. В данном случае нельзя сказать, существует ли предел у функции и чему он равен. В таком случае вычисление предела функции называется «раскрытием неопределенностей». Некоторые способы отыскания пределов функции носят название «Правила Лопиталя».

Раскрытие неопределенности или первое правило Лопиталя

Теорема. Пусть и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Пусть = (или ) и в окрестности точки . Тогда, если существует предел отношения производных функций (конечный или бесконечный), то существует предел отношения функций , причем будет справедлива формула: .

Доказательство

1. Пусть – произвольная последовательность значений аргумента,

сходящаяся к точке при , причем .

Замечание 1. Если производные функций , удовлетворяют тем же требованиям теоремы, что и сами функции и , то первое правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем:

Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда , , . В самом деле, пусть, например, и существует (конечный или бесконечный.)

Доказательство

1. Сделаем подстановку . Если , то .

2. И , при .

3. Применяя к функциям и доказанную теорему и правило дифференцирования сложной функции, получим:

.

Примеры. Вычислить пределы функций.

1. требования теоремы выполняются, применим первое пра-

вило Лопиталя .

2. требования теоремы выполняются, применим первое правило Лопиталя .

3. требования теоремы выполняются, применим первое правило Лопиталя .

Раскрытие неопределенности или второе правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции и :

1) дифференцируемы на интервале ;

2) ;

3) на ;

4) существует конечный или бесконечный, равный или предел:

. Тогда существует и предел функций , равный:

.

Теорема остается справедливой при замене и на требование , и .

Примеры. Вычислить пределы функций.

1. применим второе правило Лопиталя .

2. применим второе правило Лопиталя раз

.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов