Производная алгебраической суммы, произведения и частного

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 9Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Теорема

Если функции U = U (x) и V = V (x) дифференцируемы в некоторой точ

ке х ₀, то алгебраическая сумма, произведение и частное этих функций (при V (x) ± 0) также дифференцируемы в точке и имеют место следующие формулы:

(U ± V) ¢ = U¢ ± V¢,

(U ∙ V) ¢ = U¢V + UV¢,

при V ¹0.

Доказательство

1. Для вывода формул воспользуемся определением производной функции и равенством: f (x + ∆ x) = f (x) + ∆ y и теоремой о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций, имеющих предел в точке.

2. Сначала докажем первую формулу: производную алгебраической суммы:

(U ± V)=

= /сгруппируем первое слагаемое с третьим, второе с четвертым/ =

/разобьём на две дроби/=

= /в числителе каждой дроби стоит приращение соответствующей функции, и по условию теоремы каждая из них имеет производную в точке х₀, следовательно, существует конечный предел/=

= [35].

ч.т.д.

3. Докажем формулу № 2: производную произведения:

/заменим 1-й и 2-й сомножители первого слагаемого равенством / = /перемножим выражения в скобках/

/разделим каждое слагаемое числителя на / /так как множители V (x) и U (x) не зависят от , поэтому их можно вынести за знак предела/ /так как U (x) – дифференцируема по условию теоремы в точке х ₀, то она непрерывна в точке х ₀, следовательно, / = U ′ V (x)+ U(x)V ′+0 = U ′ V + UV ′.

ч. т. д.

4. Докажем третью формулу: производную частного:

/приведем к общему знаменателю дроби в числителе/ = /заменим U (x + ∆ x) =

U (x) + ∆ U и т.д./

/разделим числитель и знаменатель на ∆ х / = /предел частного равен частному пределов/ =

, V ≠ 0 [35].

ч.т.д.

Производные основных элементарных функций

1. f (x) = c, с′ = 0;

2. f (x) = xⁿ, (xⁿ)′= nx^{n -1};

3. f (x) = sin x, (sin x)′= cos x;

4. f (x) = cos x, (cos x)′ = – sin x;

5. f (x) = tg x, (tg x)′ = ;

6. f (x) = ctg x, (ctg x)′ = ;

7. f (x) = a^x, (a^x)′ = a^x ln a;

8. f (x) = e^x, (e^x)′ = e^x.

9. Производная логарифмической функции: f (x) = log _ax, a > 0, a ≠ 1, x > 0.

.

Доказательство

1. Для любого х .

2. Придадим аргументу х приращение ∆ х, получим новое значение аргумента

х + ∆ х.

3. Функция получит приращение ∆ f (x) = ∆ y = f (x +∆ x) – f (x) = log _a (x +∆ x) –

– log _ax = .

4. Найдём предел отношения [35].

ч.т.д.

Следствие: Если f (x) =ln x, то (ln x)′ .

10. (ln x)′ ; 11. (arcsin x)′ _x = ;

12. (arccos x)′ _x = ; 13. (arctg x)′ _x = ;

14. (arcctg x)′ _x = [35].

Модуль

Тема №6

Дифференцируемость функции, производная и дифференциал. Правила дифференцирования

Лекция №2

1. Производная обратной функции.

2. Геометрический смысл производной обратной функции.

3. Производная сложной функции.

4. Дифференцирование логарифмических функций.

5. Логарифмическое дифференцирование.

6. Дифференцирование степенно – показательных выражений.

7. Производные высших порядков.

Производная обратной функции

Теорема

Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы о существовании и непрерывности обратной функции. И пусть функция является для нее обратной. Тогда если функция имеет в точке производную, не равную нулю, , то и обратная функция также имеет в точке производную , причем она определяется по формуле:

.

Доказательство

1. Дадим аргументу обратной функции некоторое приращение в точке .

2. Тогда обратная функция получит приращение , причем в силу возрастания или убывания (т.е. в силу монотонности прямой и обратной функций) .

3. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

4. Перейдем к пределу при в последнем равенстве

.

5. Так как обратная функция непрерывна в точке , то при (на основании определения №5 непрерывности функции в точке).

Поэтому , причем, по условию теоремы.

6. Так как предел правой части равенства существует и равен , то, следовательно, существует предел и левой части равенства. А он по определению производной функции в точке равен .

7. Таким образом, или [4].

ч.т.д.

Геометрический смысл производной обратной функции

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл.

1. Рассмотрим в некоторой окрестности точки х₀ график функции у = f (x) или график обратной функции x = φ (y).

2. Пусть точка М имеет координаты М (х ₀, f (х ₀)) или М (φ (х ₀), у ₀).

Рис.3.

3. Известно, что производная функции у = f (х) в точке х ₀ f΄ (х ₀) равна танген -

су угла φ ₀ наклона касательной, проходящей через точку М графика функции, к оси О х: f΄ (х ₀) = tg φ ₀.

4. Производная же обратной функции φ' (у ₀) будет равна тангенсу угла β ₀ наклона касательной, проходящей через точку М графика функции х = φ (у), к оси О у: φ' (у ₀) = tg β ₀. Покажем это.

5. Так как углы φ ₀ и β ₀ в сумме составляют 90^º, т.е. они являются дополнительными углами φ ₀ + β ₀ = , следовательно, можно записать:

,следовательно,

[4].

Производная сложной функции

Теорема

Если функция х = φ (t) имеет производную в точке t ₀, а функция у = f (x) имеет производную в соответствующей точке х ₀= φ (t ₀), то сложная функция f (φ (t)) = Ф (t) имеет производную в точке t ₀, причем справедлива следующая формула: Ф′ (t ₀) = f′ (x ₀)∙ φ′ (t ₀) или Ф′_t = f′_x ∙ φ′_t или у′_t = у′_x ∙ x′_t.

Доказательство

1. Так как функция у = f (x) дифференцируема в точке х ₀, то приращение этой функции в точке х ₀ может быть записано так: , где бесконечно малая функция при .

2. Поделим данное равенство на ∆ t, получим .

3. Последнее равенство справедливо при любых достаточно малых ∆ х.

4. Возьмем ∆ х, равным приращению функции х = φ (t), которое соответствует приращению ∆ t аргумента t в точке t ₀.

5. Перейдём к пределу в равенстве пункта 2 при ∆ t → 0.

6. Так как по условию теоремы функция х = φ (t) имеет производную в точке t ₀, то она непрерывна в точке t ₀. А следовательно, если ∆ t стремится к нулю, то и ∆ х стремится к нулю, т.е. на основании определения №5 непрерывности функции в точке.

7. Тогда при ∆ t → 0 ∆ х → 0 и, следовательно, α (∆ х) → 0, так как .

8. Поэтому правая часть равенства пункта 2 примет вид:

= .

9. Если существует предел правой части равенства, то существует предел левой части того же равенства. А он по определению производной функции равен производной функции Ф (t) = f (φ (t)) в точке t ₀. Тем самым доказана дифференцируемость сложной функции в точке и установлена формула: Ф′ (t ₀) = = f′ (x ₀)∙ φ′ (t ₀) или у′ (t ₀) = f′ (x ₀)∙ φ′ (t ₀) или у′_t = у′_x ∙ x′_t.

ч.т.д.

Замечание

В данной теореме рассмотрена сложная функция, где у зависит от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость – с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных, но правило дифференцирования останется прежним [35].

ч.т.д.

Пример. Найти производную функции .

[35].

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры