Теорема о геометрическом сложении векторов скоростей.

(3.7)

Доказательство. Рассмотрим плоскопараллельное движение твердого тела и на фигуре Ф выберем две точки - полюс и произвольную точку (рис. 3.5).

Движение точек в системе координат определим векторным способом, задав векторы . Положение точки по отношению к точке в осях определим радиус вектором . Тогда . Продифференцируем последнее равенство по времени и с учетом (1.13) получим:

.

Здесь , - векторы скорости точек соответственно.

Рассмотрим второе слагаемое в правой части – вектор . Как может изменяться с течением вектор ? Модуль вектора , так как расстояние между двумя точками твердого тела не меняется. Переменность вектора проявляется только в переменности его направления. Этот вектор в процессе движения может поворачиваться вместе с фигурой Ф относительно полюса , как показано на рис.3.6., 3.7 Следовательно, - это вектор скорости, приобретенной точкой от вращения отрезка (фигуры Ф) вокруг полюса . Обозначая = , приходим к формуле (3.7). Что и требовалось доказать.

3.5. Вектор скорости направлен по касательной к окружности - траектории точки во вращательном движении отрезка в сторону вращения фигуры. перпендикулярен к радиусу траектории . Угловая скорость фигуры определяется по формулам (3.4).

, = , (3.8)

На рис.3.7 показаны направления вектора скорости при различных положениях вектора .

Рис. 3.7

Значение теоремы. 1. Эта теорема является основной теоремой для скоростей, позволяющей определять скорости отдельных точек тела при плоскопараллельном движении. Она не только раскрывает механизм образования скорости отдельной точки, но позволяет получить и другие методы вычисления скоростей точек плоской фигуры. 2. Равенство (3.7) позволяет найти любой из трех векторов , , по известным двум другим векторам. Например, непосредственнопо формуле (3.7)вектор можно найти двумя способами: геометрическим построением (рис. 3.6.) и по известным проекциям векторов скоростей на выбранные оси координат (этот метод часто называют «методом проекций»). Рассмотрим их по отдельности.

1.1. Определение вектора скорости точки В с помощью геометрических построений

1.Пусть известна скорость полюса и известна угловая скорость фигуры w. По (3.8) определяется величина и направление вектора . Он прикладывается в точке В и направляется в сторону вращения отрезка (фигуры Ф). Мысленно из точки в точку параллельно самому себе переносится вектор скорости . На векторах и строится параллелограмм (рис.3.6), диагональ которого и определяет вектор скорости . Все построения делаются в выбранном масштабе, длины измеряются линейкой, углы - транспортиром. Искомый вектор будет определен с погрешностью, характерной для чертежных работ.

2. Если рисунок из векторов скоростей будет носить эскизный характер, то надо знать свойства параллелограммов и треугольников, теоремы синусов и косинусов (см. приложение). Задача сведется к вычислительной работе по определению диагонали параллелограмма по известным его сторонам и углам наклона сторон к осям координат, то есть к решению школьной геометрической задачи. По теореме косинусов:

, (3.9)

Угол - угол между слагаемыми векторами . Искомый вектор скорости определяется с погрешностью, зависящей от погрешности вычислений.

1.2. Метод проекций для определения векторов скоростей точек плоской фигуры.

Спроецируем уравнение (3.7) на неподвижные оси или, что то же самое, на оси системы координат . Получим два уравнения для определения любых двух скалярных величин:

(3.10)

Если удается найти , , то проекциям вектора находится и сам вектор . Модуль вектора скорости точки определяется по формуле:

(3.11)

Пример 3.1. Кривошип кривошипно-ползунного механизма длиной равномерно вращается относительно неподвижной точки с угловой скоростью , приводя в движение весь механизм. Определить мгновенную скорость точки ползуна и угловую скорость шатуна в показанном на рисунке положении механизма, если длина шатуна , . В точках и имеют место шарнирные соединение (подшипники).

Решение. Кривошипно-шатунный механизм совершает плоскопараллельное движение. При этом кривошип вращается относительно неподвижной точки против часовой стрелки. Модуль вектора скорости точки кривошипа может быть определен по формуле (2.16). . Сам вектор направлен перпендикулярно к кривошипу в сторону его вращения, как показано на рис. к примеру 3.1б. Но, как легко видеть, точка является общей точкой для кривошипа и шатуна . Поэтому при определении скорости точки , принадлежащей шатуну , по формуле (3.7) или из системы уравнений (3.10), точку примем за полюс. Ползун совершает прямолинейное поступательное движение, что следует из устройства этой связи. Все точки ползуна, включая точку , совершая прямолинейное движение. Точка движется к точке . Поэтому и вектор скорости точки направлен к точке . Далее перенесем мысленно в точку вектор скорости . Это принято делать для наглядности геометрических построений по формуле (3.7) и одновременного контроля механики явления. Направление вектора скорости известно – он перпендикулярен к оси шатуна и может быть направлен или так, как показано на рис. к примеру, или в противоположную сторону. Но по (3.7) вектор , направление которого точно установлено, должен быть диагональю параллелограмма, построенного на векторах (этот вектор известен и по направлению и по величине) и , для которого изначально известна только линия действия. Поэтому вектор направлен так, как показано на рис. к примеру. В точке строится параллелограмм, соответствующий формуле сложения векторов скоростей (3.7). Если построения выполнены строго в масштабе, то в данном примере по известной одной стороне параллелограмма длиной можно найти и диагональ параллелограмма и другую его сторону. Но мы воспользуемся методом проекций. Спроецируем уравнение (3.7) на оси неподвижной системы координат . (Проецируем каждый вектор и найденную проекцию подставляем в (3.10)).

Проекция уравнения (3.7) на ось : (1)

Проекция уравнения (3.7) на ось : (2)

Из второго уравнения получим . Подставляя это значение в первое уравнение, получаем. . Отсюда . Угловую скорость шатуна определяем по формуле (3.8). Ответ: