Логика высказываний, или: пропозициональная логика,

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 34Следующая ⇒

— раздел логики, формализующий употребление логичес­ких связок «и», «или», «не», «если, то» и т. п., служащих для образова­ния сложных высказываний из простых. Высказывание называется простым, если оно не включает в себя другие высказывания, в противном случае оно называется с л о ж н ы м. В Л. в. простые выс­казывания рассматриваются в отвлечении от их внутренней (субъектно-предикатной) структуры. Та или иная истинностная оценка высказывания именуется его истинностным значением.

В логике классической предполагается, что простое высказыва­ние является либо истинным, либо ложным (см.: Двузначности принцип)и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него про­стых высказываний и характера их связи.

Так, соединение двух высказываний с помощью связки «и» дает сложное высказывание (именуемое конъюнкцией),являюще­еся истинным, только когда оба составляющие его высказывания истинны. Сложное высказывание, образованное с помощью связ­ки «или» (дизъюнкция),истинно, если и только если хотя бы одно из двух входящих в него высказываний истинно. Сложное выска­зывание, образованное с помощью «не» (отрицания),истинно, если только исходное высказывание ложно. Сложное высказывание, полученное из двух высказываний с помощью связки «если, то» (импликация),истинно в трех случаях: оба входящие в него выска­зывания истинны, оба они ложны, первое из этих высказываний

[161]

(следующее за словом «если») ложно, а второе (следующее за сло­вом «то») истинно; импликация является ложной только когда первое из составляющих ее высказываний истинно, а второе ложно.

Возможны и другие способы образования сложных высказыва­ний. Всего в классической двузначной логике четыре способа об­разования сложного высказывания из одного высказывания и ше­стнадцать способов образования сложного высказывания из двух высказываний.

Язык Л. в. включает бесконечное множество переменных: р, q, r,..., p ₁, q ₁, r ₁,...,представляющих высказывания, и особые символы для логических связок: & — конъюнкция («и»), v - дизъюнкция («или»), ~ - отрицание («не» или «неверно, что»), -> — имплика­ция («если, то»). Роль знаков препинания обычного языка играют скобки. Понятие формулы в Л. в. определяется так: отдельная переменная является формулой; если A и В — формулы, то (А&В),(A v B), ~A и (A -> B) также формулы.

Формулам Л. в., образованным из переменных и связок, в есте­ственном языке соответствуют предложения. Напр., если р есть высказывание «Сейчас ночь», q — высказывание «Сейчас темно» и r — высказывание «Сейчас ветрено», то формула (p - > (q v r))представляет высказывание «Если сейчас ночь, то сейчас темно или ветрено», формула ((q&. r)- >p)-высказывание «Если сейчас темно и ветренно, то сейчас ночь», формула (~q - >~p) — высказы­вание: «Если неверно, что сейчас темно, то сейчас не ночь» и т. п. Подставляя вместо переменных другие высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.

Каждой формуле Л. в. можно поставить в соответствие таблицу истинности,указывающую зависимость истинностного значения формулы от истинностных значений входящих в нее переменных. Напр., формула (~q - >~p)принимает значение «ложно» только в случае ложности q и истинности р.

Формула Л. в. называется тождественно-истинной, или тавтологией,если и только если она принимает значение «истин­но» при всех распределениях истинностных значений входящих в нее простых высказываний. Формула, принимающая при всех рас­пределениях значение «ложно», называется противоречием. Тавто­логии выражают логические законы. К тавтологиям относятся, в ча­стности, формулы:

(р - >р) — закон тождества, ~ (р&~р) — закон непротиворечия,

(p v ~p) — закон исключенного третьего,(p - >q)- > (~q - >~p) - закон контрапозиции.

[162]

Множество тавтологий бесконечно.

Л. в. может быть представлена также в форме логического исчис­ления,в котором задается способ доказательства некоторых выс­казываний (формул), называемых теоремами. Исчисление может быть формализовано с помощью аксиоматического метода. При этом указываются формулы, принимаемые в качестве аксиом,и задаются правила вывода,позволяющие получать из аксиом теоре­мы. Аксиоматическое исчисление высказываний строится таким образом, чтобы класс теорем совпадал с классом тавтологий, т. е. чтобы каждая теорема была тавтологией и каждая тавтология — теоремой (см.: Полнота).По отношению к аксиоматическому по­строению встают также вопросы о его непротиворечивости и неза­висимости принятых аксиом и правил вывода.

Наряду с классической Л. в., предполагающей, что всякое выс­казывание является истинным или ложным, существуют много­образные неклассические Л. в. В числе последних — многозначные Л. в.,интуиционистская Л. в. и др.

ЛОГИКА ДЕДУКТИВНАЯ, см.: Дедукция.

ЛОГИКА ИЗМЕНЕНИЯ

- раздел современной логики, занима­ющийся исследованием логических связей высказываний об из­менении и становлении материальных или идеальных объектов. Л.и. относится к логике неклассической;ее задача — построение искусственных (формализованных) языков, способных сделать бо­лее ясными и точными рассуждения об изменении объекта — пе­реходе его от одного состояния к другому, о становлении объекта, его формировании. В Л. и. ничего не говорится о конкретных харак­теристиках изменения и становления. Она только предоставляет совершенный с точки зрения синтаксиса и семантики язык, по­зволяющий дать строгие утверждения об изменении объекта, вскрыть основания и следствия этих утверждений, выявить их воз­можные и невозможные комбинации. Использование искусствен­ного языка при обсуждении проблем изменения объекта не есть подмена этих онтологических проблем логическими, сведение эм­пирических свойств и зависимостей к логическим.

Разработка Л. и. идет по двум направлениям: построение специ­альных Л. и. и истолкование определенных систем логики времени как логических описаний изменений. При первом подходе обычно дается «одномоментная» характеристика изменяющегося объекта, при втором изменение рассматривается как отношение между дву­мя последовательными состояниями объекта.

К первому направлению относится, в частности, логика на­правленности. Язык логики направленности богаче, чем язык

[163]

логики классической;он включает не только термины «существует» и «не существует», но также термины «возникает», «исчезает», «уже есть», «еще есть», «уже нет», «еще нет» и т. п. С помощью этих терминов формулируются законы логики направленности:

>> существовать — это то же, что начинать исчезать, и то же, что переставать возникать;

>> не существовать - то же, что начинать возникать, и то же, что прекращать исчезать;

>> становление — прекращение несуществования, а исчезнове­ние - возникновение несуществования;

>> уже существует — значит существует или возникает и т. п.

Логика направленности допускает четыре типа существования объектов: бытие, небытие, возникновение (становление) и ис­чезновение. Относительно всякого объекта верно, что он или су­ществует, или не существует, или возникает, или исчезает. Вместе с тем объект не может одновременно существовать и не существо­вать, существовать и возникать, не существовать и исчезать, возни­кать и исчезать и т. п. Иными словами, четыре типа существования исчерпывают все возможные способы существования и являются взаимно несовместимыми. Логика направленности позволяет вы­разить в логически непротиворечивой форме гегелевское утвер­ждение о противоречивости всякого движения и изменения. Ут­верждение «Предмет движется в данный момент в данном месте» эквивалентно утверждению «В рассматриваемый момент предмет находится и не находится в данном месте».

Примером второго подхода может служить логика време­ни финского философа и логика Г. X. фон Вригта (р. 1916). Ее исходное выражение «A и в следующей ситуации В»может интер­претироваться как «Состояние А изменяется в состояние В»(«А -мир переходит в B -мир»), что дает Л. и. В логике времени доказуе­мы такие теоремы:

>> всякое состояние либо сохраняется, либо возникает, либо ис­чезает;

>> при изменении состояние не может одновременно сохра­няться и исчезать, сохраняться и возникать, возникать и исчезать;

>> изменение не может начинаться с логически противоречи­вых состояний и не может вести к таким состояниям и т. п.

Примеры утверждений, доказуемых в различных системах Л. и., показывают, что она не является самостоятельной теорией из­менения и не может претендовать на то, чтобы быть таковой. Фор­мально-логический анализ изменения объекта преследует узкую цель - отыскание средств, позволяющих отчетливо зафиксиро-

[164]

вать логические связи утверждений об изменении того или иного объекта.

Вместе с тем Л. и. имеет важное философское значение, по­скольку тема изменения (становления) еще с античности стоит в центре острых философских дискуссий. Л. и. позволяет, кроме про­чего, прояснить отношение формальной логики к концепции внут­ренне противоречивой сущности становления.

ЛОГИКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

- логическая теория, цель которой — описание логических связей высказываний об объектах, исследуемых квантовой механикой. Переворот, произведенный в физическом мышлении квантовой механикой, был настолько ра­дикальным, что возникла идея особой «логики микромира», от­личной от обычной «логики макромира». В середине 30-х годов была построена первая Л. к. м., положившая начало еще одному направлению логики неклассической. Позднее немецкий философ и логик Г. Рейхенбах (1891-1953) предложил трехзначную логику без закона исключенного третьего,призванную устранять «причин­ные аномалии», возникающие при попытке применять обычное причинное объяснение к квантовым явлениям.

К настоящему времени построены десятки логических систем, стремящихся выявить своеобразие рассуждений в квантовой ме­ханике. Эти «логики микромира» существенно отличаются друг от друга как законами, так и способами обоснования. Чаще всего в этих логических системах отказываются от закона коммутативно­сти для конъюнкции («и») и дизъюнкции («или») (выражение «А и В»не считается равносильным выражению «В и А»,а «А или В» — равносильным «В или A»), от закона дистрибутивности конъюнк­ции относительно дизъюнкции и др.

В первый период своего развития Л. к. м. встретила как критику, так и одобрение. Длительная полемика не внесла, однако, яснос­ти в вопрос, действительно ли квантовая механика руководству­ется особой логикой. Если даже это так, надо признать, что ис­следования в данном направлении не оказали воздействия на саму механику. Вместе с тем Л. к. м. нашла интересные приложения в некоторых других областях.

ЛОГИКА КЛАССИЧЕСКАЯ

- раздел современной (математичес­кой, символической) логики,включающий классическую логику высказываний и классическую логику предикатов. Л.к. опирается на двузначности принцип,в соответствии с которым всякое высказы­вание является или истинным, или ложным.

У истоков Л. к. стоят, наряду со многими другими исследователями, Д. Буль (1815-1864), А. де Морган (1806-1871), Ч. Пирс (1839-1914).

[165]

В их работах была постепенно реализована идея перенесения в ло­гику тех методов, которые обычно применяются в математике. Пос­ледний шаг в математизации логики в прошлом веке был сделан Г. Фреге (1848-1925). Уже в этом веке важный вклад в развитие Л. к. внесли Б. Рассел (1872-1970), А. Уайтхед (1861-1947), Г. Гиль­берт (1862-1943) и др.

Л. к. ориентировалась главным образом на анализ математичес­ких рассуждений. С этим связаны многие ее особенности, нередко расценивающиеся теперь как недостатки. В частности, формальным аналогом условного высказывания в Л.к. является импликация мате­риальная,для которой верны положения: истинное высказывание имплицируется любым высказыванием, ложное высказывание им­плицирует каждое высказывание и другие парадоксы импликации.

Критика Л. к. началась в начале XX в. и велась в разных направ­лениях. Результатом ее явилось возникновение новых разделов со­временной логики, составляющих в совокупности логику неклас­сическую. Л. к. остается тем не менее ядром современной логики, сохраняющим свою теоретическую и практическую значимость. Явившись тем образцом, от которого отталкивались разнообраз­ные неклассические системы, Л. к., как правило, оказывается в оп­ределенном смысле предельным и притом наиболее простым слу­чаем последних. Многие из них могут быть представлены как расширения Л.к., обогащающие ее выразительные средства.

ЛОГИКА КЛАССОВ

- раздел математической логики, соответ­ствующий узкому исчислению одноместных предикатов,которые заменяются объемами, классами. Л. к. соответствует и силлогистике Аристотеля. Иногда Л. к. рассматривается как формализованная теория множеств,в других случаях - как расширение логики выс­казываний. Если в логике высказываний отвлекаются от связей меж­ду субъектом и предикатом высказывания, то в Л. к. эти связи учи­тываются. В число классов в Л. к. включается и пустой класс (0), содержащий нулевое множество элементов, и универсальный класс (1), включающий все объекты рассматриваемой области. С класса­ми можно производить операции пересечения, объединения и допол­нения. К алфавиту логики высказываний в Л.к. добавляются пере­менные а, b, с,...для классов; знаки, обозначающие операции с классами; постоянные термы 0 и 1 и знаки для обозначения от­ношений между классами. Далее дается индуктивное определение терма и класса. Вводятся отношение включения класса в класс (аb)(а включается в класс b),отношение равенства двух клас­сов (а=b).Оба эти отношения могут быть определены через отно­шение принадлежности элемента классу (а Î b).

[166]

Элементарные формулы в Л. к. имеют вид: и Ì v, u=v,где и и v — термы. Если формула Р является истинной, то это означает, что она истинна для любых классов области, являющихся значениями переменных, входящих в формулу Р. Если она истинна в любых областях, то она тождественно - истинна. Так, формула (a Ç b Ì a)гласит, что всякий элемент, содержащийся в обоих классах а и b,содержится и в классе а. Эта формула истинна не только для лю­бых классов а и b данной области D,но и для всяких классов любой области D.

Таблицы истинности, соответствующие возможным значени­ям для термов (u Ç v), (u È v), u ', (и É v), (u= v), будут совпадать соответ­ственно с таблицами конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, имплика­ции, эквивалентности. Четыре Аристотелевы формы элементарных высказываний — общеутвердительного А,частноутвердительного I, общеотрицательного Е,частноотрицательного О (см.: Сужде­ние) — могут быть соответственно выражены так: и Ì v («Все и суть v»); ~(и Ì v')(«Некоторые и суть v», т. е. «Неверно, что все и суть не - v»);(и Ì v')(«Никакое и не есть v», т. е. «Всякое и есть не - v»); ~ (и É v)(Некоторые и не суть v», т. е. «Неверно, что все и суть v»).

ЛОГИКА КОМБИНАТОРНАЯ (от лат. combinare — соединять, соче­тать)

— одно из направлений в математической логике, занимаю­щееся анализом понятий, которые в рамках классической мате­матической логики принимаются без дальнейшего изучения (напр., понятия «переменная», «функция», «правила подстановки» и т. д.). В классической математической логике пользуются правилами двух родов. Первые формулируются просто и используются без всяких ограничений. Таково, напр., правило модус поненс. Оно формули­руется так: если даны предложения «Если A, то B» и «A», то из них может быть выведено предложение «B». Это правило доступно для одноактного автоматического выполнения. Другие правила (напр., правило подстановки) формулируются сложно и пред­полагают ряд ограничений и оговорок. Одной из задач Л. к. явля­ется создание таких формальных систем, где не будет встречаться правил, подобных правилу подстановки.

ЛОГИКА МНОГОЗНАЧНАЯ,см.: Многозначная логика.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману