Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п.л. 3,25.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п.л. 3,25.

Тираж 500 экз. Заказ № 10.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2008

Содержание

Введение

Настоящее пособие является практическим приложением к разделу «Дифференциальное исчисление».

Пособие содержит практические задания, соответствующие разделам «Дифференциальное исчисление» и «Применение производной». Каждый раздел содержит вопросы для проработки теоретического материала, типовые задания с детально разработанным решением, задания для самостоятельного решения в объеме 30 вариантов.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Производная функции

Определение производной

Рассмотрим функцию , определённую на некотором интервале

Разность называется приращением аргумента в точке . Разность называется приращением функции в точке .

Если существует предел (конечный или бесконечный)

то он называется производной (конечной или бесконечной) функции в точке и обозначается .

Для производной функции используются следующие обозначения:

Замечание. Приращение функции в точке часто обозначают через . Однако, не следует забывать, что эта величина зависит от точки и от приращения .

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции в некоторой точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке , где – угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.

Механический смысл производной – это скорость изменения пути по времени .

Пример. Найти по определению производную функции .

Решение. Зафиксируем произвольную точку . Так как , то и ,поэтому .

Отсюда,

,

Следовательно,

Так как в качестве можно взять любое число неравное нулю, то для любого числа получаем

.

Например,

Пример. Найти по определению производную функцию .

Решение. Зафиксируем произвольную точку . Так как , то и , поэтому

.

Следовательно,

,

Воспользовавшись непрерывностью функции и первым замечательным пределом

,

получаем

.

Так как в качестве можно взять любое число, то для любого числа вводим

Например, .

Производные основных элементарных функций

Приведём производные основных элементарных функций.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

, где ;

, где ;

, где ;

, где ;

Пример. Найти производные следующих выражений: а) ; б) ; в)

Решение. Каждая из данных функций является степенной функцией, поэтому все производные находятся по формуле . Имеем:

а) ;

б) ;

с) .

Производные суммы, разности, произведения и частного

Производные суммы, разности, произведения и частного двух функций или находятся по следующим формулам:

; ;

, , с – число,

.

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Пример. , найти

Решение. Сначала найдем производную функции :

Итак, . Теперь находим значения производных при конкретных значениях :

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Пример. Найти производную функцию .

Решение.

Производная сложной функции

Пусть функция имеет производную в некоторой точке , а функция имеет производную в точке . Тогда, сложная функция имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле

Для краткости используется следующая запись последней формулы:

Пример. Найти производную функции .

Решение. Обозначим , , тогда . По теореме о производной сложной функции . Находим:

, ,

откуда

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Задание 1.

Вариант 1.	Вариант 2.
Задание 1. Найти производные по определению
1)	1)
2)	2)
Задание 2. Найти производные функций заданных явно
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)
10)	10)
11)	11)
12)	12)
13)	13)
14)	14)
15)	15)
Вариант 3.	Вариант 4
Задание 1. Найти производные по определению
1)	1)
2)	2)
Задание 2.Найти производные функций заданных явно
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)
10)	10)
11)	11)
12)	12)
13)	13)
14)	14)
15)	15)
Вариант 5	Вариант 6
Задание 1. Найти производные по определению
1)	1)
2)	2)
Задание 2. Найти производные функций заданных явно
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)
10)	10)
11)	11)
12)	12)
13)	13)
14)	14)
15)	15)
Вариант 7	Вариант 8
Задание 1. Найти производные по определению
1)	1)
2)	2)
Задание 2. Найти производные функций заданных явно
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)
10)	10)
11)	11)
12)	12)
13)	13)
14)	14)
15)	15)
Вариант 9	Вариант 10
Задание 1. Найти производные по определению
1)	1)
2)	2)
Задание 2. Найти производные функций заданных явно
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)
10)	10)
11)	11)
12)	12)
13)	13)
14)	14)
15)	15)
Вариант 11	Вариант 12
Задание 1. Найти производные по определению
1)	1)
2)	2)
Задание 2.Найти производные функций заданных явно
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)
10)	10)
11)	11)
12)	12)
13)	13)
14)	14)
15)	15)
Вариант 13	Вариант 14
Задание 1. Найти производные по определению
1)	1)
2)	2)
Задание 2. Найти производные функций заданных явно
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)
10)	10)
11)	11)
12)	12)
13)	13)
14)	14)
15)	15)
Вариант 15	Вариант 16
Задание 1.Найти производные по определению
1)	1)
2)	2)
Задание 2.Найти производные функций заданных явно
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)
10)	10)
11)	11)
12)	12)
13)	13)
14)	14)
15)	15)
Вариант 17	Вариант 18
Задание 1. Найти производные по определению
1)	1)
2)	2)
Задание 2. Найти производные функций заданных явно
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)
10)	10)
11)	11)
12)	12)
13)	13)
14)	14)
15)	15)
Вариант 19	Вариант 20
Задание 1. Найти производные по определению
1)	1)
2)	2)
Задание 2. Найти производные функций заданных явно
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)
10)	10)
11)	11)
12)	12)
13)	13)
14)	14)
15)	15)
Вариант 21	Вариант 22
Задание 1. Найти производные по определению
1)	1)
2)	2)
Задание 2. Найти производные функций заданных явно
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)
10)	10)
11)	11)
12)	12)
13)	13)
14)	14)
15)	15)
Ва 1234Следующая ⇒ Поделиться: Познавательные статьи:  Организация работы процедурного кабинета Статус республик в составе РФ Понятие финансов, их функции и особенности Сущность демографической политии 
	Последнее изменение этой страницы: 2016-04-25; просмотров: 352; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 216.73.217.128 (0.012 с.)