Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

(6)

Это и все свойства. Других нет.

Прейдём теперь к таблице интегралов от основных элементарных функций. Формулы 1.-X1V. получаются после интегрирования формул соответствующих номеров таблицы 1 и перемены местами правой и левой частей формул. Правильность остальных формул проверяется дифференцированием.

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Таблица 2

1. , m# -1. 1X. .

11. (1X.)^*

111. X.

1V. X1.

V. X11.

V1. Х111.

V11. = -arccosu+C X1V.

(V11.)^* XV.

V111. =- arcctgu+C XV1.

(V111.)^* = - +C

Здесь переменная u может быть независимой переменной или некоторой функцией от другой переменной, например, u=u(x). Формулы 1.-Х1V. непосредственно следуют после применения теоремы (2) к аналогичным номерам таблицы 1.

При применении табличных интегралов иногда бывает полезной формула . (7)

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Интегрирование подведением под знак дифференциала.

А теперь приступим непосредственно к нахождению первообразных функций или, иначе говоря, к интегрированию функций, т.е. к нахождению интегралов. Вначале будем пользоваться только формулами таблицы 2, теоремой 2, понятием дифференциала функции (формулы 1и 2) и естественно формулами таблицы 1, а также формулой (7). Будем преобразовывать подынтегральное выражение так, чтобы получился интеграл вида теоремы 2. Этот метод называется подведением под знак дифференциала. Подведением под знак дифференциала мы уже занимались, решая примеры на стр.3, 4.

Найти следующие интегралы:

Пример 1. Найти . Решение. Вспоминаем, что d , следовательно, интеграл можно переписать так = . Здесь мы воспользовались формулой V. таблицы 2, где u= .

Пример 2. Найти ; Решение. Рассмотрим несколько вариантов нахождения этого интеграла.

а) Заметим, что sinxcosxdx=sinxdsinx, cos2x=1-2sin²x, получим:

= = =

=

В обоих интегралах применялась формула 1. таблицы 2, где u=sinx.

б) Теперь вспомним, что sinxcosx= sin2x и sin2xdx=- dcos2x, получим = cos²2x +C₂.

в) Но, так как sinxcosx= sin2x, получаем = = = = сos4x+С₃. Получили различные первообразные. F₁= , F₂= cos²2x +C₂, F₃= . Докажем, что они отличаются на постоянное слагаемое. F₂= cos²2x +C₂= = (1-sin²2x)+C₂= sin²2x+C₂=F₁+C₂- - , следовательно С₁=С₂ . F₃= = (1-2sin²2x)+C₃= sin²2x+C₃=F₁+ C₃

получили С₁=C_{3 .} Справедливость теоремы 1 подтверждена рассмотренным примером. Можно сделать вывод и о том, что путей нахождения интегралов много. При нахождении интегралов открывается поле для творческой деятельности, но надо помнить, что всегда можно найти наиболее короткий путь решения поставленной задачи, а то, что он наиболее короткий постигается методом сравнения.

Пример 3. Решим без подробных пояснений. Найти = = ln|1+x²| + arcctg²x +C. В первом интеграле u=1+x² во втором u=arcctgx и применялись формулы соответ-ственно 11. и 1. таблицы 2.

Пример 4. Найти Найдём d(xcosx)=(cosx-xsinx)dx, следовательно имеем = = - (xcosx)^-2+C=

=- +C. К последнему интегралу применили формулу 1. табл.2, где u=xcosx m= -3. Далее решим примеры без словесных комментариев.

Пример 5. Найти = =arcsin(lnx)+C.

Пример 6. Найти = =ln(arcsinx)+C.

Пример 7. Найти =- +C.

Интегрирование методом разложения подынтегральной функции.

Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций. Рассмотрим на примерах.

Пример 1. Найти . Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель, корни представим степенями, затем воспользуемся свойствами интеграла и табличным интегралом 1.

= = =

=x²+6 -2 +C.

Пример 2. Найти . Решение. Разложим sin2x=2sinxcosx, почленно разделим, воспользуемся свойствами интеграла, получим:

= =-2cosx+x+C.

Метод замены переменной.

Если в можно найти такую функцию x=x(t) и dx= (t)dt, что после замены переменной = в правой части получаем более простой интеграл или табличный, то имеет смысл воспользоваться такой заменой.

Пример 1. Найти . Решение. Положим x=t²+1, тогда dx=2tdt, x-1=t² =t. Получаем = +С. Перейдём к старой переменной х. Имеем t= , тогда = +С.

Пример 2. Найти . Решение. Пусть x=asint, тогда dx=acostdt, = . Эта подстановка позволяет нам освободиться от корня. Получаем = = Здесь мы воспользовались формулой понижения для косинуса: cos²t= (1+cos2t). Выполним обратную замену. Так как x= a sint, следовательно, sint= , t=arcsin , sin2t=2costsint, cost= , sin2t=2 =2 . Окончательно имеем = (arcsin + )+C.

В некоторых интеграла лучше найти такую функцию t=t(x), чтобы под знаком интеграла было выражение .

Пример 3. Найти . Решение. Возьмём функцию t=sinx, dt=cosxdx. Выполним замену переменной, получим = = = +С. Выполним обратную замену, получим =

Успех при интегрировании методом замены переменной во многом зависит от того, насколько мы удачно выбрали функцию.

Интегрирование по частям.

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные, то справедлива формула

, (8)

которая называется формулой интегрирования по частям. При этом в левом интеграле за u и v выбираются такие функции, чтобы в правой части получился интеграл, либо табличный, либо более простой, чем в левой части. С помощью этой формулы находятся, например, интегралы вида:

1. e^mxdx, sin(mx)dx, cos(mx)dx.

11. lnxdx, arcsinxdx, arccosxdx, arctgxdx, arcctgxdx.

111. cos(bx)dx, sin(bx)dx, где Р(х) во всех интегралах – многочлен степени n относительно переменной х. В интегралах 1 вида принимают u=P(x) за dv всё остальное. В интегралах 11 вида за dv принимают P(х)dx за функцию u оставшийся множитель. В интегралах 111 вида формулу придётся применять дважды. За функцию u принимается либо е^ах тогда за dv оставшееся выражение, либо принимают dv=e^axdx тогда за u оставшийся множитель.

. Найти следующие интегралы:

Пример 1. Найти . Решение. Интеграл 1. вида, следовательно, u=x²+3x, dv=sin dx, тогда du=(2x+3)dx, v= -2 cos и по формуле (8) имеем =(x²+3x)(- 2 cos )- .

В правой части получили интеграл опять вида 1., но степень многочлена уменьшилась. Применим к нему опять формулу интегрирования по частям полагая за u=2x+3 за dv=cos dx, тогда du=2dx, v=2sin . Вынесем -2 за знак интеграла получим: =-2(x²+3x)cos +2(2x+3)2sin -

- ). К последнему интегралу применим формулы (6), (7) и 1. таблицы 2. Получим окончательный результат =

=-2(x²+3x)cos +2((2x+3)2sin +8cos )+C=-2(x²+3x)cos +4(2x+3)sin +

+16cos +C.

Пример 2. Найти . Решение. Имеем интеграл вида 11., поэтому положим u=arcsinx, dv=xdx, тогда du= , v= по формуле (8) по-лучим: = arcsinx- .(*) Найдём последний интеграл отдельно. К нему можно также применить формулу интегрирования по частям, хотя он и не похож ни на один из трёх видов интегралов, указанных выше. Положим за u=x, а за dv= , тогда du=dx, v= =- =- .Следовательно =x + + dx. Под знаком интеграла, в правой части равенства, умножим и разделим на , а затем числитель почленно разделим на этот же корень получим: = -x + dx= -x + - = -x +arcsinx- . В правой части получили тот же интеграл, что и в левой. Перенесём его в левую часть, сложим и разделим на 2 обе части равенства_, получим: = (-x +arcsinx)+C₁. Подставим полученный интеграл в (*) положим С=- С₁ получим окончательный результат. = arcsinx- (-x +arcsinx)+C.

Пример 3. Найти . Решение. Интеграл вида 111.. Полагая u=e^3x, dv=cos dx тогда du=3e^3xdx, v=2sin , применим формулу (8), вынесем постоянные множители за знак интеграла, получим: =e^3x2sin -6 . В правой части интеграл того же вида. Положим опять u=e^3x, за dv=sin dx, имеем du=3e^3xdx, v=-2cos , следовательно, получаем: =2e^3xsin -6(e^3x(-2cos ) +6 ) =2e^3xsin + +12e^3xcos -36 . В правой части имеем тот же интеграл, что и в левой. Перенесём его, вместе с коэффициентом, в левую часть сложим с левым интегралом, разделим на полученный коэффициент обе части равенства, предварительно вынесем общие множители за скобку, получим окончательный результат. = e^3x(sin +6cos )+С.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров