Методические указания для выполнения семестровой работы

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 3Следующая ⇒

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методические указания для выполнения семестровой работы

Волгоград 2011

УДК

Рецензент

А.Е. Годенко

Издаётся по решению редакционно-издательского отдела

Волгоградского государственного технического университета.

Неопределённые интегралы: Методические указания для выполнения семестровой работы / сост. В.И.Шушков, В.Н.Поляков.

Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011.-23с.

В пособии представлены рекомендации по изучению темы «Неопределённый интеграл». Изложен в кратком виде теоретический материал, необходимый для нахождения интегралов. Показаны разные методы нахождения интегралов. Дано много решённых примеров нахождения интегралов от различных классов функций. Рассмотрены решения одних и тех же интегралов различными методами.

Предназначено для студентов первого курса всех специальностей и всех форм обучения.

©Волгоградский государственный

Технический университет 2011.

§ 1 введение в интегралы

или подготовка к восприятию интегралов

Прежде чем приступить к изучению интегрального исчисления, необходимо повторить дифференциальное исчисление, ибо действие интегрирования является обратным по отношению к операции дифференцирования, а обратные действия являются более сложными. Так, например, извлечение корня (обратное действие по отношению к возведению в степень) более сложное действие, чем возведение в степень, действия с обратными тригонометрическими функциями также являются более сложными, чем действия с тригонометрическими функциями и т.д.

При интегрировании особо часто будем пользоваться понятием дифференциала функции, поэтому вспомним о том, что дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал аргумента, т.е. дифференциал функции y=f(x) определяется формулой

dy=f^′(x)dx (1)

если у=f(x) сложная функция вида y=f(u(x)), то согласно свойству инвариантности дифференциала (1) можно записать в виде

dy=f^′(u)du (2)

Вспомним дифференциалы основных элементарных функций:

Таблица 1

ТАБЛИЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНЦИЙ

1. d(u^m)=mu^m-1du. V1. d(ctgu)=- 1X. d(е^u)= е^u du

11. d(lnu)= . V11. d(arcsinu)= X. d(shu)=chudu

(11)^*. d(log _a u)= . (V11)^*. d(arccosu)=- X1. d(chu)=shudu

111. d(sinu)=cosu du V111. d(arctgu)= X11. d(thu)=

1V. d(cosu)=-sinudu (V111)^*. d(arcctgu)= - X111. d(cthu)=-

V. d(tgu)= 1X. d(а^u )= а^u ln а du X1V.

Но в интегральном исчислении чаще всего нам надо будет читать эти формулы справа налево. При этом будет искать такую функцию f(x), дифференциалом которой является выражение вида ψ(x)dx, т.е. чтобы соблюдалось равенство ψ(x)dx=df(x), а это уже действия обратные по отношению к нахождению дифференциала функции и они сложнее. Поэтому потренируемся выполнять такие действия на примерах.

Пример 1. Найти такие функции, дифференциалы которых описываются следующими выражениями: а) x²dx; b) sin(2x)dx; c) sin(x)cos(x)dx; d) ; e) ; f) ;

g) ; h) , t) .

Решение:

а) x²dx; замечаем, что по формуле (1) d(x³)=3x²dx, следовательно, x²dx= d( x³);

b) sin(2x)dx; подведём число 2 под знак дифференциала и, соответственно разделим на 2, получим sin(2x)dx= sin(2x)d(2x)=

=- dcos(2x) (смотри формулу 1V. табл.1), здесь функция u=2x.

c) sin(x)cos(x)dx; решим этот пример различными способами. В начале представим произведение sin(x)cos(x) по формуле двойного угла для синуса - получим sin(x)cos(x)dx= sin(2x)dx=- dcos(2x). Т.е. мы пришли к предыдущему примеру. Подведём теперь под знак дифференциа-

ла cos(x) получим sin(x)cos(x)dx= sin(x)dsin(x)= dsin²(x). Теперь функция u=sin(x). Можно подвести под знак дифференциала sin(x) получим sin(x)cos(x)dx= - cos(x)dcos(x)= - dcos²(x).Здесь мы, как и в предыдущем варианте воспользовались формулой 1. табл.1 только теперь u=cos(x). Проанализировав результат, мы видим интересный факт sin(x)cos(x)dx=

=- dcos(2x)= dsin²(x)=- dcos²(x), а именно дифференциалы различных функций одинаковые, однако если воспользуемся основным тригоно- метрическим тождеством и формулами понижения степени для синуса или косинуса, то увидим, что все эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

d) . Подведём под знак дифференциала подкоренное выражение. d(1-x²) =-2xdx, следовательно, xdx= - d(1-x²) получим = =- d . Здесь мы воспользовались формулой X1V. табл. 1 при этом учли, что u=(1-x²).

e) . Заметим, что =d(arcsinx), получим =dln(arcsinx). В этом примере сработала формула X1. табл.1, где u=(arcsinx).

f) = =(arcsin^-2x)d(arcsinx)=-d(arcsinx)^-1=-d .

Мы привели решение без пояснений оно на начальном этапе похоже на решение в предыдущем примере, лишь в конце воспользовались формулой 11. табл.1.

g) . Найдём дифференциал знаменателя d(cos²x + sinx)=

=(-2(cosx)(sinx)+cosx)dx=(cosx-sin2x)dx, следовательно, в числителе стоит дифференциал знаменателя, тогда имеем = = =dln(cos²x+sinx). (u=cos²x+sinx, формула 11. табл.1).

h) . Решение приведём без пояснений. d(5+3lnx)= , следовательно, = d(5+3lnx), тогда = =

=dln(5+3lnx). Здесь u=5+3lnx.

t) = =2 .

Попробуйте самостоятельно ответить на вопрос дифференциалы, каких функций описывают данные ниже выражения?

1) ; 2) tgxdx; 3) ctgxdx; 4) ; 5) xsin(x2)dx; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Правильность решения проверьте дифференцированием.

§2 Первообразная функция и неопределённый интеграл

Потренировались немного, а теперь пeрейдём непосредственно к неопределённым интегралам. Во-первых, вспомним, что неопределённый интеграл от функции f(x) есть совокупность первообразных этой функции, а первообразной функции f(x) называется такая функция F(x) производная которой равна f(x), т.е. выполняется условие F′(x)= f(x). Это определение неопределённого интеграла. И ещё вспомним, что функция f(x) имеет множество первообразных, и все они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое (теорема 1), поэтому в определении и фигурирует слово «совокупность». В справедливости теоремы мы уже убедились, решив пример 1с) на стр.5.

Перейдём теперь к теоремам, которые непосредственно указывают на взаимную обратимость действий интегрирования и дифференцирования.

Теорема 2. Интеграл от дифференциала функции F(x) равен дифференцируемой функции F(x) плюс произвольная постоянная. Или-в символической записи теорема записывается так:

= F(x)+С. (3)

Очень полезная теорема. С помощью этой теоремы можно находить некоторые интегралы методом подведения под знак дифференциала. Далее мы в этом убедимся на примерах.

Теорема 3. Производная от интеграла по переменной интегрирования равна интегрируемой функции. В символической записи терема примет вид:

. (4)

Эта теорема позволяет нам проверять правильность нахождения интегралов, т.е. нахождения первообразных.

Осталось вспомнить свойства интегралов, которые определяются следующими двумя теоремами:

Теорема 4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых. Или в символах:

. (5)

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Таблица 2

1. , m# -1. 1X. .

11. (1X.)^*

111. X.

1V. X1.

V. X11.

V1. Х111.

V11. = -arccosu+C X1V.

(V11.)^* XV.

V111. =- arcctgu+C XV1.

(V111.)^* = - +C

Здесь переменная u может быть независимой переменной или некоторой функцией от другой переменной, например, u=u(x). Формулы 1.-Х1V. непосредственно следуют после применения теоремы (2) к аналогичным номерам таблицы 1.

При применении табличных интегралов иногда бывает полезной формула . (7)

Метод замены переменной.

Если в можно найти такую функцию x=x(t) и dx= (t)dt, что после замены переменной = в правой части получаем более простой интеграл или табличный, то имеет смысл воспользоваться такой заменой.

Пример 1. Найти . Решение. Положим x=t²+1, тогда dx=2tdt, x-1=t² =t. Получаем = +С. Перейдём к старой переменной х. Имеем t= , тогда = +С.

Пример 2. Найти . Решение. Пусть x=asint, тогда dx=acostdt, = . Эта подстановка позволяет нам освободиться от корня. Получаем = = Здесь мы воспользовались формулой понижения для косинуса: cos²t= (1+cos2t). Выполним обратную замену. Так как x= a sint, следовательно, sint= , t=arcsin , sin2t=2costsint, cost= , sin2t=2 =2 . Окончательно имеем = (arcsin + )+C.

В некоторых интеграла лучше найти такую функцию t=t(x), чтобы под знаком интеграла было выражение .

Пример 3. Найти . Решение. Возьмём функцию t=sinx, dt=cosxdx. Выполним замену переменной, получим = = = +С. Выполним обратную замену, получим =

Успех при интегрировании методом замены переменной во многом зависит от того, насколько мы удачно выбрали функцию.

Интегрирование по частям.

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные, то справедлива формула

, (8)

которая называется формулой интегрирования по частям. При этом в левом интеграле за u и v выбираются такие функции, чтобы в правой части получился интеграл, либо табличный, либо более простой, чем в левой части. С помощью этой формулы находятся, например, интегралы вида:

1. e^mxdx, sin(mx)dx, cos(mx)dx.

11. lnxdx, arcsinxdx, arccosxdx, arctgxdx, arcctgxdx.

111. cos(bx)dx, sin(bx)dx, где Р(х) во всех интегралах – многочлен степени n относительно переменной х. В интегралах 1 вида принимают u=P(x) за dv всё остальное. В интегралах 11 вида за dv принимают P(х)dx за функцию u оставшийся множитель. В интегралах 111 вида формулу придётся применять дважды. За функцию u принимается либо е^ах тогда за dv оставшееся выражение, либо принимают dv=e^axdx тогда за u оставшийся множитель.

. Найти следующие интегралы:

Пример 1. Найти . Решение. Интеграл 1. вида, следовательно, u=x²+3x, dv=sin dx, тогда du=(2x+3)dx, v= -2 cos и по формуле (8) имеем =(x²+3x)(- 2 cos )- .

В правой части получили интеграл опять вида 1., но степень многочлена уменьшилась. Применим к нему опять формулу интегрирования по частям полагая за u=2x+3 за dv=cos dx, тогда du=2dx, v=2sin . Вынесем -2 за знак интеграла получим: =-2(x²+3x)cos +2(2x+3)2sin -

- ). К последнему интегралу применим формулы (6), (7) и 1. таблицы 2. Получим окончательный результат =

=-2(x²+3x)cos +2((2x+3)2sin +8cos )+C=-2(x²+3x)cos +4(2x+3)sin +

+16cos +C.

Пример 2. Найти . Решение. Имеем интеграл вида 11., поэтому положим u=arcsinx, dv=xdx, тогда du= , v= по формуле (8) по-лучим: = arcsinx- .(*) Найдём последний интеграл отдельно. К нему можно также применить формулу интегрирования по частям, хотя он и не похож ни на один из трёх видов интегралов, указанных выше. Положим за u=x, а за dv= , тогда du=dx, v= =- =- .Следовательно =x + + dx. Под знаком интеграла, в правой части равенства, умножим и разделим на , а затем числитель почленно разделим на этот же корень получим: = -x + dx= -x + - = -x +arcsinx- . В правой части получили тот же интеграл, что и в левой. Перенесём его в левую часть, сложим и разделим на 2 обе части равенства_, получим: = (-x +arcsinx)+C₁. Подставим полученный интеграл в (*) положим С=- С₁ получим окончательный результат. = arcsinx- (-x +arcsinx)+C.

Пример 3. Найти . Решение. Интеграл вида 111.. Полагая u=e^3x, dv=cos dx тогда du=3e^3xdx, v=2sin , применим формулу (8), вынесем постоянные множители за знак интеграла, получим: =e^3x2sin -6 . В правой части интеграл того же вида. Положим опять u=e^3x, за dv=sin dx, имеем du=3e^3xdx, v=-2cos , следовательно, получаем: =2e^3xsin -6(e^3x(-2cos ) +6 ) =2e^3xsin + +12e^3xcos -36 . В правой части имеем тот же интеграл, что и в левой. Перенесём его, вместе с коэффициентом, в левую часть сложим с левым интегралом, разделим на полученный коэффициент обе части равенства, предварительно вынесем общие множители за скобку, получим окончательный результат. = e^3x(sin +6cos )+С.

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методические указания для выполнения семестровой работы

Волгоград 2011

УДК

Рецензент

А.Е. Годенко

Издаётся по решению редакционно-издательского отдела

Волгоградского государственного технического университета.

Неопределённые интегралы: Методические указания для выполнения семестровой работы / сост. В.И.Шушков, В.Н.Поляков.

Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011.-23с.

В пособии представлены рекомендации по изучению темы «Неопределённый интеграл». Изложен в кратком виде теоретический материал, необходимый для нахождения интегралов. Показаны разные методы нахождения интегралов. Дано много решённых примеров нахождения интегралов от различных классов функций. Рассмотрены решения одних и тех же интегралов различными методами.

Предназначено для студентов первого курса всех специальностей и всех форм обучения.

©Волгоградский государственный

Технический университет 2011.

§ 1 введение в интегралы

или подготовка к восприятию интегралов

Прежде чем приступить к изучению интегрального исчисления, необходимо повторить дифференциальное исчисление, ибо действие интегрирования является обратным по отношению к операции дифференцирования, а обратные действия являются более сложными. Так, например, извлечение корня (обратное действие по отношению к возведению в степень) более сложное действие, чем возведение в степень, действия с обратными тригонометрическими функциями также являются более сложными, чем действия с тригонометрическими функциями и т.д.

При интегрировании особо часто будем пользоваться понятием дифференциала функции, поэтому вспомним о том, что дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал аргумента, т.е. дифференциал функции y=f(x) определяется формулой

dy=f^′(x)dx (1)

если у=f(x) сложная функция вида y=f(u(x)), то согласно свойству инвариантности дифференциала (1) можно записать в виде

dy=f^′(u)du (2)

Вспомним дифференциалы основных элементарных функций:

Таблица 1

ТАБЛИЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНЦИЙ

1. d(u^m)=mu^m-1du. V1. d(ctgu)=- 1X. d(е^u)= е^u du

11. d(lnu)= . V11. d(arcsinu)= X. d(shu)=chudu

(11)^*. d(log _a u)= . (V11)^*. d(arccosu)=- X1. d(chu)=shudu

111. d(sinu)=cosu du V111. d(arctgu)= X11. d(thu)=

1V. d(cosu)=-sinudu (V111)^*. d(arcctgu)= - X111. d(cthu)=-

V. d(tgu)= 1X. d(а^u )= а^u ln а du X1V.

Но в интегральном исчислении чаще всего нам надо будет читать эти формулы справа налево. При этом будет искать такую функцию f(x), дифференциалом которой является выражение вида ψ(x)dx, т.е. чтобы соблюдалось равенство ψ(x)dx=df(x), а это уже действия обратные по отношению к нахождению дифференциала функции и они сложнее. Поэтому потренируемся выполнять такие действия на примерах.

Пример 1. Найти такие функции, дифференциалы которых описываются следующими выражениями: а) x²dx; b) sin(2x)dx; c) sin(x)cos(x)dx; d) ; e) ; f) ;

g) ; h) , t) .

Решение:

а) x²dx; замечаем, что по формуле (1) d(x³)=3x²dx, следовательно, x²dx= d( x³);

b) sin(2x)dx; подведём число 2 под знак дифференциала и, соответственно разделим на 2, получим sin(2x)dx= sin(2x)d(2x)=

=- dcos(2x) (смотри формулу 1V. табл.1), здесь функция u=2x.

c) sin(x)cos(x)dx; решим этот пример различными способами. В начале представим произведение sin(x)cos(x) по формуле двойного угла для синуса - получим sin(x)cos(x)dx= sin(2x)dx=- dcos(2x). Т.е. мы пришли к предыдущему примеру. Подведём теперь под знак дифференциа-

ла cos(x) получим sin(x)cos(x)dx= sin(x)dsin(x)= dsin²(x). Теперь функция u=sin(x). Можно подвести под знак дифференциала sin(x) получим sin(x)cos(x)dx= - cos(x)dcos(x)= - dcos²(x).Здесь мы, как и в предыдущем варианте воспользовались формулой 1. табл.1 только теперь u=cos(x). Проанализировав результат, мы видим интересный факт sin(x)cos(x)dx=

=- dcos(2x)= dsin²(x)=- dcos²(x), а именно дифференциалы различных функций одинаковые, однако если воспользуемся основным тригоно- метрическим тождеством и формулами понижения степени для синуса или косинуса, то увидим, что все эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

d) . Подведём под знак дифференциала подкоренное выражение. d(1-x²) =-2xdx, следовательно, xdx= - d(1-x²) получим = =- d . Здесь мы воспользовались формулой X1V. табл. 1 при этом учли, что u=(1-x²).

e) . Заметим, что =d(arcsinx), получим =dln(arcsinx). В этом примере сработала формула X1. табл.1, где u=(arcsinx).

f) = =(arcsin^-2x)d(arcsinx)=-d(arcsinx)^-1=-d .

Мы привели решение без пояснений оно на начальном этапе похоже на решение в предыдущем примере, лишь в конце воспользовались формулой 11. табл.1.

g) . Найдём дифференциал знаменателя d(cos²x + sinx)=

=(-2(cosx)(sinx)+cosx)dx=(cosx-sin2x)dx, следовательно, в числителе стоит дифференциал знаменателя, тогда имеем = = =dln(cos²x+sinx). (u=cos²x+sinx, формула 11. табл.1).

h) . Решение приведём без пояснений. d(5+3lnx)= , следовательно, = d(5+3lnx), тогда = =

=dln(5+3lnx). Здесь u=5+3lnx.

t) = =2 .

Попробуйте самостоятельно ответить на вопрос дифференциалы, каких функций описывают данные ниже выражения?

1) ; 2) tgxdx; 3) ctgxdx; 4) ; 5) xsin(x2)dx; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Правильность решения проверьте дифференцированием.

§2 Первообразная функция и неопределённый интеграл

Потренировались немного, а теперь пeрейдём непосредственно к неопределённым интегралам. Во-первых, вспомним, что неопределённый интеграл от функции f(x) есть совокупность первообразных этой функции, а первообразной функции f(x) называется такая функция F(x) производная которой равна f(x), т.е. выполняется условие F′(x)= f(x). Это определение неопределённого интеграла. И ещё вспомним, что функция f(x) имеет множество первообразных, и все они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое (теорема 1), поэтому в определении и фигурирует слово «совокупность». В справедливости теоремы мы уже убедились, решив пример 1с) на стр.5.

Перейдём теперь к теоремам, которые непосредственно указывают на взаимную обратимость действий интегрирования и дифференцирования.

Теорема 2. Интеграл от дифференциала функции F(x) равен дифференцируемой функции F(x) плюс произвольная постоянная. Или-в символической записи теорема записывается так:

= F(x)+С. (3)

Очень полезная теорема. С помощью этой теоремы можно находить некоторые интегралы методом подведения под знак дифференциала. Далее мы в этом убедимся на примерах.

Теорема 3. Производная от интеграла по переменной интегрирования равна интегрируемой функции. В символической записи терема примет вид:

. (4)

Эта теорема позволяет нам проверять правильность нахождения интегралов, т.е. нахождения первообразных.

Осталось вспомнить свойства интегралов, которые определяются следующими двумя теоремами:

Теорема 4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых. Или в символах:

. (5)

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?