Кратний перерахунок для методів Рунге – Кутта за допомогою Excel

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 29 из 30Следующая ⇒

Задача 2. Знайти чисельні розв’язки задачі Коші на відрізку [1; 2] з кроками інтегрування h = 0,1 0,05 методом Рунге – Кутта другого порядку точності по формулам , де , і оцінити похибку отриманого розв’язку методом подвійного перерахунку.

Розв’язання. Оскільки за формулою q = 2, то в такому разі метод Рунге – Кутта має другий порядок точності тоді і тільки тоді, коли його параметри задовольняють (5). Тут , тож α₂ = , звідки β₂₁ = , р₂ = 1, р₁ = 0. Отже, , де , = y_k + h f (x_k, y_k). Це удосконалений метод Ейлера. Кроки інтегрування задамо у чарунках H1, H2: тут H1 = 0,1, H2 = 0,05. Побудуємо електронну таблицю для чисельного розв’язання даної задачі Коші з кроком інтегрування 0,1 по таким формулам. Надамо чарункам таких значень:

Тут у стовпці С значення w₁(h) = h f (x_k, y_k), у стовпці F значення w₂(h) = h f (, ). Нагадаємо, що формулу у чарунці F2 можна просто скопіювати з чарунки С2. В результаті обрахунків за попередньою таблицею дістанемо:

Далі можна, як і в задачі 1, скопіювати попередні формули, наприклад у діапазон J1:O3, а потім у чарунках A3, C2, D2, F2 у $H$1 замінити 1 на 2, звідки дістанемо:

І тоді в результаті обчислень дістанемо:

Оскільки похибка на кожному кроці є систематичною, то найбільшу похибку слід очікувати у кінцевій точці 2. Тому порівняємо тепер наближені значення розв’язку задачі Коші, отримані в задачі удосконаленим методомЕйлера, саме у цій точці за допомогою наступної таблиці для подвійного перерахунку.

Тут у стовпці А крок інтегрування, у стовпці В наближені значення в точці 2, отримані у попередніх таблицях з відповідним кроком: за позначеннями формули (6) у_k = 2,270871, = 2,30402. У С17 підрахована за правилом Рунге (6) похибка ε = – наближення у чарунці В17 ε ≈ , де s – порядок точності методу, в даному разі порядок удосконаленого методу Ейлера s = 2, тобто С17 = (В17 – В16)/3. Виявляється, що і справді знайдена так точність приблизно дорівнює h^s = (0,1)² = 0,01. Як було зазначено у попередньому параграфі, цей підрахунок ε насправді зроблений з точністю порядку h^s+1, тобто порядку (0,1)³ = 0,001. Нарешті, у чарунці D17 підраховане уточнене наближення для y(2) за формулою (7) (тобто D17 = В17 + С17), точність якого вже порядку 10^-3. Ця таблиця фактично і є відповіддю задачі 2.

Тепер можна отримати такі ж таблиці, тобто обґрунтовані апостеріорні оцінки і за підрахунками задачі 1. Наближені значення розв’язку задачі Коші порівняємо у кінцевій точці, в даному разі 1, оскільки, саме в ній слід очікувати найбільшу похибку. Спочатку розглянемо таблицю для методу Ейлера.

Оскільки порядок точності методу Ейлера дорівнює 1, то правило Рунге, яке застосовано у формулах стовпця С набуває вигляду ε = – у_k. У стовпці D обчислюються уточнені наближення точності порядку h². В результаті дістанемо:

Порівняння останніх наближень дає 6,122296 – 6,039943 = 0,082353, що вже значно менше похибок не уточнених наближень. Таблиця удосконаленого методу Ейлера:

Тут правило Рунге має вигляд ε ≈ ( – у_k)/3, як і в задачі 2 (бо порядок точності s = 2). В результаті дістанемо:

Порівняння останніх наближень дає 6,158681 – 6,156994667 = 0,000241 – перевага удосконаленого методу Ейлера у точності результатів тут є безперечною.

Задача 3. Знайти чисельний розв’язок задачі Коші на відрізку [0; 1] методом Рунге – Кутта другого порядку точності за формулою , де з точністю 10^-4, оціненою методом кратного перерахунку.

Розв’язання. Оскільки за формулою методу q = 2, то метод Рунге – Кутта має другий порядок точності тоді і тільки тоді, коли його параметри задовольняють (5). За умовою тут α₂ = , звідки β₂₁ = , р₂ = , р₁ = . Отже, , де , = y_k + h f (x_k, y_k). Спочатку задамо кроки інтегрування 0,2 0,1 0,05 0,025 у чарунках H1:H4, знайдемо чисельні розв’язки для таких кроків і оцінимо їх методом кратного перерахунку. Якщо потрібна точність не буде досягнута, то крок буде зменшено. Отже, аналогічно задачі 2, надамо чарункам таких значень:

В результаті дістанемо:

Далі, як і в попередніх задачах, скопіюємо А2:F3 у будь – які вільні від інформації діапазони, а потім у відповідних чарунках у $H$1 замінимо 1 на 2, 3 або 4. Наприклад,

Тоді в результаті обчислень дістанемо:

Так само дістанемо чисельні розв’язки для кроків h = 0,05 у чарунці H3 і h = 0,025 у H4. За цими обрахунками створимо наступну електронну таблицю кратного перерахунку. Як і вище, оцінку похибки будемо проводити у кінцевій точці, в даному разі 1, оскільки саме в ній слід очікувати найбільшу похибку.

Тут у стовпці H крок інтегрування, у стовпці I наближені значення в точці 1, отримані при попередніх підрахунках з відповідним кроком, у стовпці J похибка ε, підрахована за правилом Рунге (6) ε ≈ , де s – порядок точності методу. В даному разі 2^s – 1 = 3, бо s = 2. На цьому закінчився перший (подвійний) перерахунок. У стовпці К знаходимо уточнені наближення порядку точності 3 за формулою (7), у стовпці L їх оцінки ε знову за правилом Рунге ε ≈ , але тепер 2^s – 1 = 7, бо s = 3. У сукупності це другий (подвійний) перерахунок. Далі аналогічно проводимо третій перерахунок: із зростанням номеру перерахунку N на одиницю порядок точності методу s завжди теж зростає на одиницю, отже тут s = 4, 2^s – 1 = 15:

В результаті отримаємо таку трикутну таблицю (матрицю):

Згідно з отриманими апостеріорними оцінками тут всі наближення мають якнайбільше три значущих цифри, що є недостатньою точністю за умовою задачі. Отже, знайдемо чисельний розв’язок даної задачі Коші з кроком інтегрування h = 0,0125 і додамо до таблиці кратного перерахунку отримане значення у(1). За підрахунками:

……………………………………………………………………

Отже, достатньо занести отримане значення у(1) = 4,068469 у чарунку I40 поряд з відповідним значенням кроку h = 0,0125 у чарунці H40, решту формул у стовпцях J:O можна просто скопіювати:

Тут символ * означає, що у відповідній чарунці знаходиться та ж сама формула, що й у попередній таблиці. Для N = 4 s = 5, 2^s – 1 = 31, тому Р40 = (O40 – O39)/31. В результаті отримаємо таку трикутну таблицю:

На четвертому перерахунку наближення досягло вже чотирьох значущих цифр, проте точності 10^-4, яку вимагає умова задачі, ще не досягнуто. Тому знайдемо ще й чисельний розв’язок даної задачі Коші з кроком інтегрування h = 0,0125 і отримане значення у(1) додамо до таблиці кратного перерахунку. За підрахунками:

Отже, отримане значення у(1) = 4,068469 заносимо до таблиці кратного перерахунку. В результаті отримаємо таку таблицю:

Як бачимо, тепер необхідна точність досягнута вже на другому перерахунку. Проте, як було доведено і видно з формули (13), отримані оцінки самі є наближеними числами і тому не можна виключати, що при наступному перерахунку оцінка зросте. У такому разі отримана на попередньому перерахунку величина не є достовірною. У даному прикладі цього не сталося, отже значення 4,075226 або 4,075131 можна вважати отриманими з точністю 10^-4, з чотирма вірними значущими цифрами.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров