Не перейдут светила предписанных границ»

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 22Следующая ⇒

Задача трех тел

Короли и математика — это тема для особых размышлений. Почему коронованные особы порой проявляют такой пристальный интерес к этой науке? Быть может, дело в том, что, как сказал Александру Македонскому один древний философ, «в математике нет царских путей»? Во всяком случае, история знает немало примеров, когда эта область человеческого знания удостаивалась августейшего внимания.

В 1885 году шведский король Оскар II решил объявить международный конкурс на лучшее математическое исследование актуальной научной проблемы. Говорят, что с юношеских лет он увлекался математикой и в зрелом возрасте выражал свою приверженность к этой науке различными благотворительными мероприятиями. Организация конкурса была поручена редакции первого в Скандинавии математического журнала «Акта математика». Главный редактор журнала, молодой математик Г. Миттаг-Леффлер недолго колебался, выбирая кандидатов для небольшого по составу жюри. На одобрение королю были предложены имена двух крупнейших ученых — Карла Вейерштрасса и Шарля Эрмита, представителей двух ведущих в Европе математических школ — немецкой и французской. Вместе с Миттаг-Леффлером они составили небольшой, но авторитетный конкурсный совет. Присуждение премии было приурочено ко дню шестидесятилетия короля — 21 января 1889 года. В этот торжественный день победителю должны были вручить золотую медаль с изображением Оскара II стоимостью в тысячу франков и денежный приз в размере двух тысяч крон, то есть около 3000 франков.

Участникам конкурса предлагались на выбор четыре темы из числа наиболее актуальных математических проблем того времени. Первая тема резко отличалась — от трех остальных как по своей значимости, так и по сложности. Сейчас, с дистанции прошедших десятилетий, это особенно заметно. Предложил ее К. Вейерштрасс, и не случайно, как мы увидим впоследствии. Проблема была далеко не новая и исходила не из математики, а из небесной механики.

Решая уравнения движения двух притягивающихся друг к другу небесных тел, приходят к известному еще со времен Кеплера вращению по эллиптическим орбитам. Так движутся планеты вокруг Солнца. Задача двух тел, как принято ее называть, принадлежит к тому немногочисленному классу задач, дифференциальные уравнения которых поддаются точному решению. Тем не менее она неточно описывала движение реальных небесных тел. Сама постановка задачи была приближенной. Ведь, помимо солнечного притяжения, на каждую планету действует притяжение со стороны других небесных тел, и не всегда можно им пренебречь. Напротив, астрономы убедились, что без учета этих вторичных, не столь значительных сил воздействия им никак не обойтись. Наглядный пример — открытие планеты Нептун в 1846 году. Местонахождение этой неизвестной планеты было вычислено Леверье по тому возмущению, которое вызывала в движении Урана ее сила притяжения. Невозможно точно описать планетную орбиту, не включив в рассмотрение притяжение планеты не только к Солнцу, но и ко всем остальным планетам солнечной системы. Но стоило к двум притягивающимся телам присовокупить третье, как математическая сложность задачи неизмеримо возрастала. Дифференциальные уравнения задачи трех тел уже не допускали точного решения. Решение же задачи многих тел представлялось вообще весьма проблематичным.

Трудность решения столь важной проблемы лишь усиливала ее притягательность для лучших умов в области математики и механики. Из работ Ньютона следует, что он знал некоторые частные решения задачи трех тел. Но общее решение не удалось получить даже знаменитому Лагранжу, премированному в 1772 году Парижской академией за свой мемуар о проблеме трех тел. Ему удалось исследовать только некоторые частные случаи, которым он сам не придавал особого значения, заметив лишь, что они любопытны, и только. Основная задача небесной механики ждала своего часа.

И вот ее выносят на конкурс среди других сугубо математических задач: предлагалось решить дифференциальные уравнения движения для некоторого количества взаимно притягивающихся тел. При этом жюри выражало надежду, что решение этой задачи значительно расширит наши познания о «системе мира».

Именно эта тема вызвала наибольшие нарекания. Не слишком ли сложную и фундаментальную задачу выдвигает жюри? Соизмерима ли трудность и значимость проблемы с общественным престижем конкурса? Некоторые считали проблему попросту неразрешимой. Особенно настойчивые возражения слышались со стороны некоторых немецких ученых. Миттаг-Леффлеру, как председателю жюри, принявшему на себя все организационные хлопоты, пришлось официально отвечать на ряд критических замечаний по первой теме. Порой он вынужден был обращаться за помощью непосредственно к Вейерштрассу, который подкреплял его ответы вескими аргументами.

Конечно, предлагая эту тему, жюри видело в ней прежде всего математическую задачу, а не задачу небесной механики. Ведь предлагалось разработать технологию решения дифференциальных уравнений, и трудности здесь были чисто математические. Что же касается принципиальной разрешимости задачи, то тут аргументы жюри были более слабыми и туманными. Вряд ли можно принимать в расчет неофициальное заявление, сделанное незадолго перед смертью известным математиком и механиком Леженом-Дирихле. Одному из своих ближайших друзей он якобы сообщил, что ему удалось решить уравнения механики, описывающие движение планет с учетом их взаимного влияния. Хотя никаких сведений о методе Дирихле не сохранилось, жюри выражало уверенность, что он основан не на длинных и сложных вычислениях, а на какой-нибудь существенно простой идее, которую предлагалось заново открыть. Указывалось даже, что решение следует искать в виде бесконечного ряда слагаемых, составленных из каких-нибудь известных функций, поскольку в конечной форме его получить невозможно.

Остальные три темы носили более специальный математический характер. Во второй теме предлагалось в явном виде получить функции двух переменных, родственные уже известным ультраэллиптическим функциям, но только более общие. В третьей теме предлагалось продолжить исследования Брио и Буке, изучавших функции, определяемые дифференциальными уравнениями специального вида. Наконец, в четвертой теме обращалось внимание на то, что введенные Пуанкаре фуксовы функции еще не изучены с алгебраической точки зрения, как это проделано для эллиптических функций. Предлагалось заполнить этот пробел.

Безусловно, конкурс должен был заинтересовать Пуанкаре. И не только потому, что Миттаг-Леффлер настойчиво предлагает ему принять участие, равно как Аппелю и Пикару. Все три последние темы явно находятся в сфере его научных интересов. Вторая задача, по существу, родственна задаче построения фуксовых функций. Исследования Брио и Буке в свое время тоже очень интересовали Анри и стимулировали его первые научные работы. А четвертая тема по самой постановке была естественным продолжением и развитием его работ по фуксовым функциям. Так что ни для кого из математиков не было сюрпризом участие Пуанкаре в этом международном конкурсе.

Удивительным оказалось другое: для своей конкурсной работы он выбирает первую тему, не примыкающую, казалось бы, к основным направлениям его математических исследований.

Но это впечатление неверно. Еще в 1883 и 1884 годах, в самый разгар своих работ по качественной теории дифференциальных уравнений и но фуксовым функциям, Пуанкаре как бы между делом публикует две заметки, касающиеся некоторых частных решений задачи трех тел. Поначалу они не привлекли серьезного внимания, затерявшись в лавине его статей. Никто не подозревал, что это была уже заявка на будущую большую тему, к которой он был подготовлен всем своим предыдущим творчеством. Ведь как-никак решение знаменитой задачи небесной механики тоже упирается в проблему интегрирования дифференциальных уравнений, которая стала побудительным мотивом многих его исследований.

До истечения срока подачи работ оставалось совсем немного, когда Пуанкаре вплотную приступил к задаче трех тел. В июле 1887 года он сообщает в ответном письме Миттаг-Леффлеру, что не забыл о конкурсе и вот уже месяц или два занимается исключительно выбранной темой. Анри пришел к твердому убеждению, что «не следует пытаться проинтегрировать задачу в функциях известных или сколько-нибудь с ними схожих». Располагая некоторыми результатами по упрощенному варианту задачи, он надеется, что сможет приступить к самому общему случаю. И далее заключает: до 1 июня 1888 года (срок приема конкурсных работ) «я если и не решу задачу полностью (на это я не надеюсь), то найду достаточно полные результаты, чтобы их можно было представить на конкурс». Итак, оставалось уже меньше года, а вся основная работа была еще впереди.

После тщательного разбора всех одиннадцати безымянных работ, представленных под девизами из разных стран, жюри конкурса признало лучшими две из них. Одна работа принадлежала Полю Аппелю и называлась «Об интегралах функций со множителями и об их применении к разложению абелевых функций в тригонометрические ряды». По-видимому, это исследование было выполнено по второй конкурсной теме. Другая работа имела в качестве девиза строчку из латинского стихотворения: «Nunquam praescriptos transibunt sidera fines», что в переводе означает: «Никогда не перейдут светила предписанных границ». Это был мемуар Анри Пуанкаре. Обе работы были удостоены премии на равных основаниях. Друзья разделили славу и почести. Извещая Жозефа Бертрана, непременного секретаря Академии наук Франции, о результатах конкурса, Миттаг-Леффлер в письме от 18 февраля 1889 года выражал мнение жюри об исследовании Пуанкаре: «Премированный мемуар окажется среди самых значительных математических открытий века и станет новым основанием для уважения со стороны всех геометров, которое Пуанкаре снискал своими поразительными открытиями». Французское правительство тоже отметило международный успех молодых ученых: оба лауреата были представлены к кавалерам ордена Почетного легиона.

Друзья и близкие Анри еще раз смогли убедиться, что непомерную интенсивность и исключительную продуктивность его умственного труда нельзя объяснить кратковременной, быстро гаснущей вспышкой. Уплотненный темп работы мысли, концентрированный поток сознания, не знающего, что такое усталость и истощение, свидетельствуют о глубинном «резервуаре небывалой интеллектуальной мощи», выражаясь словами Джона Сильвестра. Знаменитый труд «О проблеме трех тел и об уравнениях динамики», поразивший всех многообразием и значительностью полученных результатов, был создан им практически в течение года. Вместе с мемуаром Аппеля он составил целый выпуск журнала «Акта математика» за 1890 год.

Открывается этот том отзывом Ш. Эрмита о работе П. Аппеля. Отзыв о работе А. Пуанкаре должен был писать другой член жюри — К. Вейерштрасс, который сам много лет уделял внимание задаче трех тел. Еще в 1881 году он писал С. Ковалевской: «Твое присутствие побудило меня снова взяться за мои старые исследования по интегрированию дифференциальных уравнений динамики. Я сделал некоторые успехи, но передо мною все еще стоят трудности, которые иногда кажутся мне непреодолимыми. Этой зимой на семинаре я подробно рассмотрел существование метода определения движений планет в условиях нашей планетной системы и все более приходил к выводу, что для правильного решения связанной с этим проблемы надо идти совершенно иными путями, чем до сих пор, но эти новые пути представляются мне только в тумане». После объявления конкурса Вейерштрасс в письме к Миттаг-Леффлеру прямо говорит о том, что сам интересовался первой конкурсной темой и даже получил в свое время доказательство ее разрешимости. «Но это доказательство достаточно сложное, — признается он, — я его забыл, а при попытке его восстановить у меня, как обычно бывает, возникли различные сомнения».

Будучи хорошо знаком с задачей и с трудностями ее решения, Вейерштрасс весьма квалифицированно подошел к разбору результатов Пуанкаре, высказав ему ряд претензий. Он нашел изложение во многих местах трудным и недоработанным. Вполне основательный упрек, если вспомнить, что вся работа создавалась Анри за очень короткий срок, исключающий возможность тщательного редактирования. Некоторые из приведенных доказательств Вейерштрасс считал недостаточно строгими. Им было высказано пожелание, чтобы до опубликования мемуара Пуанкаре тщательно пересмотрел его и по возможности устранил указанные недостатки. Идя навстречу этим требованиям, Пуанкаре добавил к первоначальному тексту несколько дополнительных замечаний и исправил допущенную им в одном месте ошибку.

Претензии Вейерштрасса к Пуанкаре объясняются не только погрешностями представленной работы, но и различием стилей и методов, которых придерживались оба математика. «Вейерштрасс был, очевидно, натурой, склонной к тщательному творчеству, которое постепенно прокладывает себе дорогу к вершине, — отзывается о своем соотечественнике Ф. Клейн. — У него не было склонности распознавать с отдаления очертания еще не достигнутых высот…» В своих работах он продвигался вперед медленно, шаг за шагом, стремясь достичь исчерпывающей полноты обоснования каждого действия. Математическая теория, по его мнению, должна развиваться предельно строго, чисто логическим путем, не опираясь на наглядные представления. Запрещалось делать какие бы то ни было выводы из рассмотрения геометрических фигур. «Единства метода, последовательной разработки единого плана, соответственной разработки деталей» требовал он от математиков своей школы.

В этом с ним существенно расходится Пуанкаре. В своих исследованиях он не опирается на обоснованность и точность отдельных деталей. Ради главного он способен пренебречь малосущественными, с его точки зрения, частностями. Обоснованность и точность его доказательств лежат совсем в иной плоскости. Стремясь к прикладному результату, Пуанкаре допускает порой нестрогости, непростительные с точки зрения «чистого математика», свободно оперирует геометрическими, наглядными или попросту интуитивными соображениями.

Несмотря на столь явное несходство в методах и подходах к математическим проблемам, Вейерштрасс высоко оценил работу Пуанкаре. В письме от 15 ноября 1888 года он сообщает Миттаг-Леффлеру, что даже если бы эта работа содержала только приведенное в ней доказательство устойчивости в частном случае задачи трех тел, то и тогда она могла бы претендовать на премию ввиду важности этого результата. Но в ней содержится много больше. «Поэтому я без колебаний признаю эту работу достойной премии, — заканчивает Вейерштрасс. — …Рассматриваемую работу нельзя, правда, считать решением поставленной конкурсной проблемы, но эта работа настолько значительна, что с ее опубликованием, по моему убеждению, начнется новая эпоха в истории небесной механики».

Современники так и не увидели текста отзыва Вейерштрасса. В тринадцатом томе «Акта математика», включившем обе премированные работы, содержался лишь один отзыв — об исследовании Аппеля. Говорили, что Вейерштрассу в этот период его жизни уже трудно было писать, что постоянные болезни заставляли его раз за разом откладывать окончательное редактирование отзыва. Действительно, в письме к Софье Ковалевской немецкий математик ссылается на свое болезненное состояние: «Я обещал написать подробный реферат о премированной работе Пуанкаре, который должен был быть напечатан. Часть его уже давно находится у Миттаг-Леффлера. При продолжении этой работы я столкнулся с трудностями. У меня возникли сомнения в правильности и точности некоторых полученных Пуанкаре результатов. Затем я заболел и должен был временно совершенно отложить работу. Я надеялся внести ясность в это дело путем обсуждений с Фрагменом. К сожалению, я должен был от этого отказаться, и в настоящее время у меня нет никаких перспектив на то, чтобы я мог скоро направить свои мысли на научные вопросы. Кроме того, я уже снова все забыл, что наметил».

Но вряд ли дело только в болезни Вейерштрасса, только в том, что у него не хватило ни времени, ни сил, чтобы придать своему отзыву окончательный вид. «Что в таких условиях можно сделать? — продолжает он в том же письме. — Прошу тебя, поговори об этом с Миттаг-Леффлером. Я могу лишь сделать два предложения. Либо Миттаг-Леффлер доложит о действительном положении дел, обещая, что мой реферат, если его удастся закончить, будет напечатан в „Акта“. Либо он даст напечатать мою предварительную аннотацию, которая была представлена королю. За написанное там я принимаю на себя ответственность. Однако нужно открыто признать, что восторженное обсуждение Эрмитом премированной работы Пуанкаре вызвало ожидания, которых эта работа в конечном счете не оправдывает. Достоинство исследований Пуанкаре состоит больше в их отрицательных,[24] а не в положительных результатах».

Даже если здоровье Вейерштрасса действительно не позволяло ему доработать уже наполовину написанный отзыв до желаемого вида, то, очевидно, существовали достаточно веские причины, побудившие его быть столь внимательным и требовательным к форме выражения своего мнения, как будто речь идет о документе чрезвычайной важности. И дело не в том, что им овладели какие-то сомнения в достоинствах работы Пуанкаре. Ведь он по-прежнему берет на себя полную ответственность за свою предварительную аннотацию, в которой дана чрезвычайно высокая и лестная оценка достижениям автора этой работы. Объяснение необычной сдержанности и осторожности маститого немецкого математика скорее всего нужно искать во внешних обстоятельствах, в общественной атмосфере того времени.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры