Дифференциальное исчисление функции одной переменной

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

1. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

2. Уравнение касательнойк кривой:  

3.Уравнение нормали к кривой: .

4. Основные правила дифференцирования.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0

5. Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0;                           9)

2)(x^m)¢ = mx^m-1;           10)

3)                 11)

4)                  12)

5)                       13)

6)               14)

7)                      15)

8)          16)

6. Производная сложной функции.

Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда 

7. Логарифмическое дифференцированиесостоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

8. Производная обратных функций.

9.Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

10.Правило Лопиталя. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

11.Вторая производнаяфункции f(x).

12.Формула Лейбница.

.

13. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁.

 Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

14. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

15.Необходимое условие существования экстремума: Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

16.Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

17. Достаточные условия существования экстремума:

       Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

       Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум

18. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой

19. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

20. Прямая называется асимптотойкривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю

Интегральное исчисление

1.Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

2.Неопределенным интеграломфункции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

3.Таблица интегралов

   Интеграл

  Значение

   Интеграл

   Значение

-ln½cosx½+C

   e^x + C

ln½sinx½+ C

   sinx + C

  -cosx + C

      tgx + C

   -ctgx + C

ln

arcsin  + C

4. Интегрирование по частям:

5.Универсальная тригонометрическая подстановка

6 Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма  стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]. Обозначение : ,где

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

7. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥).

Обозначение:

8. Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

9. Длина дуги кривой

10. Объем тела может быть найден по формуле:

11. Объем тела вращения:

12.  - формула вычисления площади поверхности тела вращения.

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии