Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

↑

Стр 1 из 3Следующая ⇒

ГЛОССАРИЙ

по дисциплине Математика

Комплексные числа

1.Комплексным числом zназывается выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

       При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

       Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

2. Числа  и называются комплексно – сопряженными.

3.Два комплексных числа  и  называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

4.Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

5. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.            

При этом величина r называется модулемкомплексного числа, а угол наклона j -аргументомкомплексного числа.

6. Формула Муавра -   

где n – целое положительное число.

7. Показательная форма комплексного числа

Элементы линейной алгебры

1. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

2. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

3. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

4.Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

5.Квадратная матрица вида  называется диагональнойматрицей.

6. Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C; .

7. Матрицу В называют транспонированнойматрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ;             В = А^Т= ;

другими словами, b_ji = a_ij.

8.Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

       1) умножение строки на число, отличное от нуля;

       2) прибавление к одной строке другой строки;

       3) перестановка строк;

       4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

       5) транспонирование;

9. Определителемквадратной матрицы А=  называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

                                                           det A = , где                    (1)

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца

10. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратнойк матрице А и обозначается А^-1.

11. Наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля, называется рангомматрицы и обозначается Rg А.

12. Теорема Кронекера-Капелли:Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

1. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

2. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

3. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

4. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

5.Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

6. Векторы   называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно a_i , т.е. .

Если же только при a_i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

7.Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

8.Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, то координаты этой точки определяются как:

9. Координаты середины отрезка находятся как:

x = (x₁ + x₂)/2;    y = (y₁ + y₂)/2;       z = (z₁ + z₂)/2.

10. Скалярным произведениемвекторов  и  называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

×  = ï ïï ïcosj

11.Векторным произведениемвекторов и  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и  образуют правую тройку векторов.

Обозначается:  или .

12.Смешанным произведением векторов ,  и  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор, равный векторному произведению векторов  и .

Обозначается или ( , , ).

13.Плоскостьюназывается поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

14. Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

15. Уравнение плоскостис нормальным вектором.

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

16. Уравнение плоскости в отрезках.

17. Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры