Его решение можно записать в виде

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

X=Acos(w₀t+j₀)

                                                                                            (3)

                                                или X=Asin(w₀t+j₀)     

         Уравнения (3) есть уравнения гармонических колебаний. Гармоническими колебаниями называют движение, происходящее по закону синуса или косинуса.

     Как известно, синус и косинус – функции периодические. Следовательно, гармонические колебания обладают строгой периодичностью, через определенные промежутки времени повторяется одно и то же состояние движения тела (одно и то же значение координаты Х и скорости груза V).

     Наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяется одно и то же состояние движения груза Р, называется периодом гармонических колебаний Т, частота колебаний n=1/T,

w₀ – циклическая частота колебаний w₀ = 2p/T = 2pn

     При гармонических колебаниях не должна изменяться энергия колебаний, равная E=kA²/2

Гармонические колебания со временем не затухают.

     Однако, как показывают наблюдения, во всех реальных колебательных системах собственные колебания являются затухающими, что сопровождается уменьшением амплитуды колебаний вследствие потерь энергии в этой системе. Потери энергии колебаний обусловлены трением.

     В простейшем случае механических колебательных систем предполагается, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости. В нашем случае сила сопротивления пропорциональна скорости груза Р.

F_c=-au=-adx/dt,

где: a – коэффициент сопротивления среды.

По второму закону Ньютона для груза Р запишем уравнение

md²x/dt²=-kx-adx/dt  (4)

Поделим уравнение на массу груза m, введем обозначения

k/m=w₀²; a/m=2b    (5)

и уравнение (4) перепишем в виде d²x/dt²+2bdx/dt+w₀²x=0 (6),

 где b – коэффициент затухания среды.

     Если w₀²>b², то решение уравнения (6) можно записать в виде

                                                                                                   (7)

где B, j₀ – некоторые постоянные (B – начальная амплитуда колебаний,

j₀ – начальная фаза колебаний).

Если обозначить Be^-bt=A (8), то (7) примет вид:

x=Asin(w₁t+j₀) (8),

где: А – амплитуда затухающих колебаний; и движение груза P можно рассматривать как гармонические колебания. Однако их амплитуда со временем убывает по закону (8) и угловая частота (а, следовательно, и период) этих колебаний отличается от частоты гармонических колебаний.

Для характеристики затухания колебаний вводятся:

1. Коэффициент затухания b=a/2m, зависящий от коэффициента сопротивления a и от массы груза m;

2. Логарифмический декремент затухания Q, как натуральный логарифм отношения двух следующих друг за другом амплитуд, значение которых берется через промежуток времени, равный периоду колебаний.

   Q=bT      (9)

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США