Определения, обозначения, примеры

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Аркфункции.

Теория

Задача, обратная нахождению значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла (числа), подразумевает нахождение угла (числа) по известным значениям тригонометрических функций. Она приводит к понятиям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Определения, обозначения, примеры

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как угол

Пусть про угол x известно лишь то, что его синус равен числу 1/2, то есть, . Последнее равенство определяет угол неоднозначно, так как ему удовлетворяет бесконечное множество углов 30⁰; 390⁰; -330⁰; 150⁰;510⁰; -210⁰, и т.д. (так как функция синуса периодична). Однако, если потребовать, чтобы величина угла в градусах принадлежала отрезку [−90⁰; 90⁰] (в радианах – отрезку [−π/2, π/2]), то равенство будет определять угол x однозначно. При этом условии равенству удовлетворяет единственный угол в 30⁰ ( радиан).

Вообще, равенство при любом числе a∈[−1, 1] и условии −90°≤x≤90° (−π/2≤x≤π/2) определяет единственный угол x. Этот угол называют арксинусом числа a.

Определение.

Арксинус числа a∈[−1, 1] – это угол −90°≤x≤90° (−π/2≤x≤π/2), синус которого равен a.

Аналогично определяются арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Определение.

Арккосинус числа a∈[−1, 1] – это угол 0°≤x≤180° (0≤x≤π), косинус которого равен a.

Определение.

Арктангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол −90°<x<90° (−π/2<x<π/2), тангенс которого равен a.

Определение.

Арккотангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол 0°<x<180° (0<x<π), котангенс которого равен a.

Для записи арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса приняты следующие обозначения: arcsin, arccos, arctg и arcctg. То есть, арксинус числа a можно записать как arcsin a, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a запишутся соответственно как arccos a, arctg a и arcctg a.

Подчеркнем, что арксинус и арккосинус числа определен для чисел, принадлежащих отрезку [−1, 1], для остальных чисел арксинус и арккосинус не определен. Например, не имеет смысла запись arcsin2. Аналогично не определен arcsin5, arcsin(- ), arcsin 7,3 и arcsinπ, так как числа 2; 5; -√3; 7,3; −π выходят за пределы числового отрезка от −1 до 1.

В свою очередь записи arctg a и arcctg a имеют смысл для любого действительного числа a, например, имеют смысл записи arctg0, arctg(−500,2), arcctg(6·π+1) и т.п.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности