Ортогональные матрицы и их свойства

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Квадратичная матрица Т с вещественными элементами называется ортогональной, если её транспонированная матрица разна обратной.

Теорема:

Модуль определителя ортогональной матрицы равен 1

Доказательство:

( - по свойству определителя

Теорема:

В Евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортогонального базиса к другому является ортогональным.

Доказательство:

Рассмотрим скалярное произведение

Если S матрица перехода от базиса , то

Следовательно S - ортогональная

33. Неравенство Коши-Буняковского.                                                    

Теорема: Для любых двух элементов х,у евклидово пространства  справедливо неравенство:

Доказательство:

Так как Евклидово Пространство  , то аксиомы 1-4 выполняются:

1. (

2. (

3. ( Ʉλ

4. (x,x)

Рассмотрим скалярное произведение в соответствие с аксиомой 4.

(

2.

Квадратный трёхчлен относительно  Чтоб неравенство выполнялось при всех  был меньше или равен 0

34. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при переходе от одного базиса к другому.

Оператором действующем из

: → y=

При этом y – это образ вектора х, а х-прообраз вектора у

Оператор называется линейным, если для любых векторов из  выполняется условие:

Ʉ Ʉ

1.

2.

Если пространства  и  совпадают, то оператор называется линейным преобразованием пространства x

35. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования.

Ненулевой вектор х называется собственным, если существует число  из k,для которого выполняется следующее равенство: Ах= , при этом число  собственным числовым или собственным знаменателем оператора

Если оператор А преобразует пространство само в себя, тогда матрица оператора квадратичная.

A=

Получаем уравнение:

Если расписать:

Это система линейных однородных уравнений относительно координат вектора х

Так как х , то система должна иметь ненулевое значение, а для этого надо чтоб det(A-AE)=0

det(A-

Это уравнение называется характеристическим для , а многочлен при раскрытие определителя называется характеристическим многочленом вещественной формой этого многочлена является собственными числами.

Характеристические числа  это все кроме характеристического многочлена, множеством всех характеристических чисел называется спектром

Алгоритм нахождения собственных векторов операторов:
1. записать характеристический многочлен оператора.

2. каждое собственное число  подставить в систему (*) и найти все независимые решения соответствующие этому

36.Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определена, если при любых значениях  она принимает не отрицательные( не положительные) значения и u=0 только, если

Квадратичная форма называется знакопеременной, если она может принимать, как положительные так и отрицательные значения.

Теорема:
Для того, чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определена необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы А были положительны (отрицательны)

Ф(

Ф(

Ф(

Ф(

Рассмотрим квадратичную матрицу n-ного порядка и выпишем все условные миноры этой матрицы(лежат в верхнем левом углу)

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности