переход к новым координатам позволяет избавится от линейных слагаемых

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 2Следующая ⇒

26. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости

Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

, .

Здесь x, y - координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей, a, b - координаты нового начала O’ относительно старых осей (говорят также, что a - величина сдвига в направлении оси абсцисс, b - величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

, .

Здесь x, y суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы

,

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол . Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.

27. Классификация поверхностей 2^го порядка. Центральные поверхности. Эллипсоид, гиперболоиды

1. Центральные поверхности

 – одновременно

Координаты оси – оси симметрии этих поверхностей

Возможные случаи:
1.

2. два коэффициента одного знака ( , а два – противоположного(

3. ,

4.

 28. Классификация поверхностей 2^го порядка. Нецентральные поверхности. Параболоиды и цилиндры.

Нецентральные поверхности

=0

Возможные случаи:
1. p=q=0, две плоскости

2. p=0, q 0  

- эллиптический цилиндр
- гиперболический цилиндр

3. p 0  

Сводим уравнение поверхности к виду:

- эллиптический параболоид
- гиперболический параболоид

2. Если в уравнение (1)  

Переход к новым координатам:

Cведёт уравнение к виду:

1.. p=q=0 - две плоскости

2. p=0, q 0

Замена:

 –параболический цилиндр

29. Линейные пространства. Размерность и базис линейного пространства.

Теорема:

Любой вектор х n-мерного линейного пространства можно разложить по базису линейные пространственные и при том единственным образом.

Док-во

1. dim L=n,  +

так как размерность = n, то линейная комбинация обращается в 0, если хоть один коэффициент комбинации не равен 0

разложение вектора x по базису

2.предположим, что существует два разложения

 0=(

Линейная комбинация базисных векторов обращается в 0, тогда и только тогда, когда их коэффициенты равны 0

,

,

Пусть дано разложение вектора x по базису

 , тогда назовём , координатами вектора в базисе

30. Линейные пространства. Замена базиса. Матрица перехода при смене базиса.

Рассмотрим векторы х и у.

Рассмотрим  и  два произвольных базиса n-мерного линейного пространства. Векторы второго базиса можно выразить через вектор первого базиса.

Запишем систему в виде уравнений в матричной форме:

=A , A=

Матрица А невырожденная rang A=n

=

Рассмотрим некоторый вектор и его разложение по двум базисам

Учитывая (*) имеем:

Прировняем коэффициенты левой и правой части:

=> =

Столбцы в транспонированной матрице это координаты векторов нового базиса в старом базисе.

Обратный ход:

Вывод: если переход от первого базиса ко второму осуществляется при помощи невырожденной матрицы А, то переход от координат произвольного элемента относительно первого базиса к координатам первого элемента относительно координат второго базиса осуществляется с помощью обратного хода.

31. Евклидовы пространства. Норма вектора. Нормированное пространство

32. Ортонормированный базис конечномерного евклидового пространства. Ортогональные матрицы и их свойства.

система n элементов мерного евклидового пространство образует ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортодоксальны и норма каждого из них равна 1

Теорема:

В каждом мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис

Переход от произвольной системы мерного евклидового пространства к ортонормированному базису

Пусть - произвольная система векторов, следовательно можно перейти эквивалентной системе ортогональных векторов.

Перейти к ортонормированному базису

Система векторов  система ортогональных векторов

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров