Задачи для самостоятельного решения.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Задачи для самостоятельного решения.

  Задача№5.

 Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

 а) 1,2, 5, 6, 7, 8;

б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Решение       a)  

                   б)

Размещения

Размещениями без повторений из n различных элементов по k элементов (k<n) называются все такие последовательности k различных элементов, выбранных из исходных n, которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.

Число размещений без повторений из n элементов по k вычисляется по формуле:

Пример.

Размещения без повторений из n=3 различных элементов: a, b, c по k=2 элементов таковы:

 a, b; b, a; a, c; c, a; b, c; c, b.

Число размещений равно 6; и по формуле получим тот же результат:

 Задача№1.

Сколько трёхзначных чисел может быть составлено из нечётных цифр так, чтобы цифры в каждом числе не повторялись?

Решение. Х = {1, 3, 5, 7, 9},

.n=5, k=3

Задача№2.

Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Решение.

Пронумеруем места в купе (с № 1 по № 4) и будем «выдавать» каждому из трех членов семьи номер места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться выборки по 3 элемента, при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в ней элементов (кто именно и на каком месте поедет). Число способов равно числу размещений из 4 по 3:

Задача№3.

На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

Решение.

Выбираем из 7 запасных путей 4 пути для размещения на них поездов; порядок выбора имеет значение:.

Задача№4.

Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?

Решение. Выбираем 6 столов для студентов из 20 имеющихся: порядок выбора учитывается (кто сидит у окна, кто около преподавателя и т. п.):

Задача№5.

Слово шпаргалка составили из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешали и положили в пустую коробку. Из коробки наугад достают 4 карточки. Какова вероятность того, что мы получим слово пара?

Решение. а) Появление слова пара – это случайное событие В. 

Количество четырёхбуквенных слов, которые можно составить из 9 букв – это число размещений Поэтому  

Так как имеем 3 карточки с буквой А , следовательно число исходов нашего опыта, благоприятствующих появлению слова пара равно, числу размещений из трёх букв А по две буквы в слове. Таких слов получится:

б) Но можно решить эту задачу и не применяя формулы комбинаторики, а используя теорему умножения вероятностей.

Имеем 9 карточек, из них 3 карточки с буквой А. Событие В заключается в том , что достаём букву П и букву А и Р и опять А.

Сочетания

Сочетаниями без повторений из n различных элементов по k элементов (k<n) называются все такие последовательности k различных элементов, выбранных из исходных n, которые отличаются друг от друга составом элементов.

Пример.

Сочетания без повторений из трех различных элементов, n=3: a, b, c по k=2 таковы:

ab; ac; cb.

 Число сочетаний без повторений – 3. Согласно формуле:

Нетрудно заметить, что      

Число сочетаний входит в формулу бинома Ньютона:

Задача№1

Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

Решение.

Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно

вариантов.

Задача№2

Сколькими способами можно выбрать в подарок 4 из имеющихся 10-ти книг?

Решение. Так как порядок выбора не важен, то используем сочетания:

 способов.

Задача№3

В группе 12 студентов – 8 девушек и 4 юноши. Наугад вбирают двух студентов. С какой вероятностью они окажутся одного пола?

Решение.

Случайное событие В: 2 студента окажутся одного пола.

а).Из восьми девушек двух можно выбрать способами.

Из четырёх юношей двух можно выбрать

Двух девушек или двух юношей (то есть двух лиц одного пола) можно выбрать  Это число исходов опыта, благоприятствующих появлению двух студентов одного пола - М.

Общее число исходов опыта по выбору двух студентов - N- это число сочетаний по 2 студента из всех 12-ти студентов:

б). Но можно решить эту задачу используя теоремы сложения и умножения вероятностей (формулу полной вероятности).

Вероятность того, что первый студент –девушка и второй девушка

Вероятность того, что первый студент –юноша и второй юноша

Вероятность того, что появятся две девушки или два юноши :

Задача№4

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

способами можно выбрать 1 юношу;

способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать:  способами.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры