Основные способы решения показательных уравнений

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Основные способы решения показательных уравнений

Вид уравнения

Способ решения

Пример

· Логарифмирование обеих частей по любому основанию

По свойству логарифмов:

· По определению логарифма:

·

·

Деление обеих частей равенства на  или на

 /:

Логарифмирование по любому основанию:

Раскрываем скобки и выражаем неизвестное

Замена  и решение квадратного уравнения с обратной подстановкой

Пусть

Обратная замена

Вынесение числа с наименьшей степенью за скобки

 /:3

Решается аналогично предыдущему вынесением наименьшей степени

/:7

/:

Показательная функция, ее свойства и график

Показательной функцией называется функция вида , где a – заданное число, .

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1) Область определения показательной функции – множество всех действительных чисел.

2) Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел.

3) Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если  и убывающей, если .

4) Нулей нет

5) Функция ни четная, ни нечетная (т.е. общего вида)

6) Наибольшего и наименьшего значения у функции нет.

7) Функция непериодична

8) Ограничена снизу, не ограничена сверху

График функции:

 (возрастающая)                                         (убывающая)

Пример 1:

Построить график функции

x

-1

y

Решение показательных уравнений:

Вопросы по теории:

1. Что такой показательная функция?

2. Почему накладываются ограничения a>0 и a ?

Если то  имеет смысл не для всех х

Например,

Если

3. Как выглядит график показательной функции?

4. Какие свойства показательной функции вы знаете?

Примеры на повторение:

1)

2)

3)

4)

Решение:

1)

2)

3)

4)

Пусть

       Произведем обратную замену:

Решить показательные уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

       Вспомним, как раскрывается модуль:

Если :

-x-4=-x+2

Корней нет

Если :

Если

x-2=x+4

-2=4

Корней нет

Ответ: -1

Показательные неравенства

Решение показательных неравенств сводится к решению неравенств вида:

 или  

Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции: для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента, а для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

Например,

Так как 3>1, то функция является возрастающей

Знак не меняется

Важно:

Если основание больше 1, то не меняем знак неравенства при сравнении показателей

Если , то знак неравенства меняется на противоположный

Примеры:

1)

2)

3)

Решение:

1)  

Так как основание больше 1 (4>1), функция возрастает и знак у неравенства при сравнении показателей степени не меняется.

/ :(-2) (так как -2<0, то знак неравенства поменяется, ибо при делении или умножении левой и правой части неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный)

Ответ:

2)

Так как основание больше 0<0,8<1, функция убывает и знак у неравенства при сравнении показателей степени меняется на противоположный.

/: (-3)

Ответ:

3)  

Решим данное неравенство методом интервалов.

Для этого приравняем левую часть к нулю (т.е. решим уравнение f(x)=0). И найдем корни данного уравнения.

       Отметим все полученные корни на координатной прямой:

Ответ:

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте