Расчет стоимости европейских опционов на валюту

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

3. Формулы Блека-Шоулза

Пусть финансовые рынки удовлетворяют следующим условиям:

ü рынки являются совершенными;

ü существует безрисковая процентная ставка, одинаковая для всех сроков и не меняющаяся со временем;

ü отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.

Тогда для европейских опционов на бездивидендную акцию справедливы формулы Блека-Шоуза:

где с – цена опциона «call»;

       p – цена опциона «put»;

S – цена базисных активов в текущий момент времени t;

       K – цена исполнения опционов (страйк-цена);

       r – безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении;

       ;

       − волатильность базисных активов (стандартное отклонение цены базисных активов);

        – интервал времени до исполнения (в годах)

        − функция стандартного нормального распределения; в Excel – НОРМСТРАСП(z). Существуют формулы приближенного вычисления значений этой функции на калькуляторе:

для ;

для .

Пример 1. Найти стоимости 6-месячных европейских опционов «колл» и «пут» на бездивидендную акцию с ценой исполнения 40 USD, когда текущая цена акции 42 USD, волатильность цены акции составляет 20%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении процентов равна 10% годовых.

Решение

В данном случае .

Тогда

;

;

;

.

Следовательно,

Задача для самостоятельного решения

Найти стоимости 6-месячных европейских опционов «колл» и «пут» на бездивидендную акцию с ценой исполнения (10N) USD, когда текущая цена акции (10(N+1))USD, волатильность цены акции составляет (10+N/5)%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении процентов равна (2+N/5)% годовых.

Пример. Найти стоимости 6-месячных европейских опционов на поставку 10 000 USD, если курс USD/RUB менялся следующим образом

День

Курс (RUB за 1 USD)

Процентная ставка в США – 1,5% годовых, в РФ 15% годовых.

Решение.

Найдем волатильность курса доллара в рублях:

День

Изменение курса (d) %

4,6

-2,9

-3

-3

.

Спот-курс , курс-форвард (курс поставки валюты через полгода)

– период в годах ( ).

.

Цены опционов:

где   ;

Цена опциона на покупку валюты= 10 000·0,7614=7 614 RUB;

Цена опциона на продажу валюты =10 000·0,594=5 940 RUB.

Задача. Найти стоимости 6-месячных европейских опционов на поставку 10 000 INV, если курс INV/RUB менялся следующим образом

День

Курс (RUB за 1 INV)

2N

2N+1

1,9N

2N+2

2N+1

2N+3

Процентная ставка в IN –(1+N/5)% годовых, в РФ 15% годовых.

5. Греческое хеджирование

Пример 1. Определить показатель дельта 3-месячных европейских опционов на бездиви­дендную акцию с ценой исполнения 100 долл., когда текущая спот-цена ак­ции равна 98 долл., волатильность акции оценивается в 40%, а безрисковая процентная ставка при сложном начислении равна 1,5% годовых.

Решение:

;

,

где                          

В данном случае       

S = 98 долл.; K = 100 долл.; i = 0,015; q = 0; Т - t = 3/12; s= 0,4.

Процентная ставка для непрерывного начисления определяется по формуле:

, т.е.

Ф (0,0176) =0,51; Ф(-0,0176)= 0,493

Следовательно, , .

Из равенства

следует, что, если цена базисной ак­ции мгновенно вырастет на 1 долл., то цена опциона «пут» на эту акцию умень­шится на 0,493 USD, а цена опциона «колл» – возрастет на 0,51 USD.

Пример 2. Финансовый институт продал 5-недельный европейский опцион «колл» на 100 000 бездивидендных акций с ценой исполнения 50 USD, когда текущая цена акции равна 49 USD, волатильность акции составляет 25%, а безрисковая процентная ставка равна 6%. Провести дельта-хеджирование и определить его издержки (Сценарий приведен в таблице)

Для хеджирования своей позиции финансовый институт решает исполь­зовать операции с базисной акцией и ребалансировать свою позицию ежене­дельно.

Решение

Показатель Дельта для европейского опциона «колл» бездивидендной акции определяется по формуле

где

Расчёты представим в таблице

ДЕЛЬТА-ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ АКЦИЙ

Номер недели i

Цена

акции

(USD)

Коэффициент

дельта

Количество покупаемых (продаваемых) акций

Стоимость покупаемых акций

(USD)

Накопленные

издержки

(USD)

49,000

-0,147

0,4416

2 163 840,00

2 163 840,00

48,125

-0,405

0,3427

–9890

–475 956,25

1 690 381,93

47,375

-0,628

0,2650

–7770

–368 103,75

1 324 229,75

50,250

0,110

0,5438

1 400 970,00

2 726 728,59

51,750

0,466

0,6794

701 730,00

3 431 606,63

53,125

-

1,0000

1 703 187,50

5 138 755,96

В момент исполнения опциона финансовый институт обязан продать 100 000 акций по цене исполнения опциона в 50 долл.

Следовательно, чистые затраты финансового института составят 5 138 755,96−5 000 000 = 138 755,96 USD, а приведенные чистые затраты равны

Европейский опцион «колл» равен

Премия за опцион составляет 122 621,64 USD. Таким образом, чистые приве­денные издержки финансового института (без учета комиссионных) равны

137 957,75 − 122 621,64 = 15 336,11 (USD).

Отметим, что при отсутствии хеджирования чистые приведенные издерж­ки составили бы

 Задача

Финансовый институт продал 3-недельный европейский опцион «колл» на 100 000 бездивидендных акций с ценой исполнения (10+N) долл., когда текущая цена акции равна (9,2+N) долл., волатильность акции составляет (20+N) %, а безрисковая процентная ставка равна (1+N)%. Цена акции будет меняться, как указано в таблице:

Неделя

Цена (USD)

9,2+N

9,0+N

8,8+N

9,3+N

Провести дельта-хеджирование и определить его издержки.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология