Оценка суммы знакочередующегося ряда

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

7.2. Оценка суммы знакочередующегося ряда

Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то ряд сходится и его суммы удовлетворяет неравенству:

|S|<|a₁|.

Пример 1. Вычислить сумму ряда c точностью ε=0.01

Решение. Во-первых, докажем, что данный ряд сходится. В самом деле, ряд является знакочередующимся рядом, члены которого по модулю не возрастают  и .

По теореме Лейбница данный ряд сходится к некоторому числу S

Ошибка, которая при этом допущена, равна . R_n называется остатком ряда. Остаток ряда R_n является знакочередующимся рядом, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Следовательно, | R_n|  . Если  < 0.01, то и | R_n|<0.01. n+1>100, n>99.

7.3 Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость ряда. Теорема о связи между абсолютной сходимостью и сходимостью ряда.

Определение 2. Ряд  называется условно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. если сходится ряд .

Определение 3. Ряд  называется условно сходящимся, если данный ряд сходится,а ряд из модулей членов данного ряда расходится.

Например, ряд  абсолютно сходится, а ряд  - условно сходится.

Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда , который будет знакоположительным рядом и к нему можно применить теорему сравнения. Имеем:

Так как ряд Дирихле сходится, то сходится ряд . Следовательно, данный ряд сходится абсолютно, а по теореме 2 можно утверждать, что он сходится.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности