Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Лекция 7

Тема: Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость ряда. Теорема о связи между абсолютной сходимостью и сходимостью ряда.

7.1 Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Определение 1. Ряды вида , либо  называются знакочередующимися рядами.

Примерами знакочередующихся рядов являются:

 - знакочередующийся гармонический ряд,

- знакочередующийся ряд Дирихле.

Теорема 1. (Теорема Лейбница)

Пусть в знакочередующемся ряде члены ряда по модулю не возрастают, т.е:

Для того, чтобы знакочередующийся ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы предел общего члена равнялся нулю, т.е.

Доказательство. Рассмотрим для определенности ряд . Необходимость. Дано: Ряд  сходится. Требуется доказать, что предел общего члена равен нулю.

Справедливость этого утверждения вытекает из необходимого признака сходимости ряда.

Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что ряд сходится.

Сначала докажем сходимость последовательности частичных сумм с четными номерами {S_2n}^∞

S_2n=(a₁-a₂)+(a₃-a₄)+…+(_a2n-1-a_2n)≥0

Имеем:

S₂ ≤S₄ ≤S₆ ≤…. ≤S_2n ≤…. ,

т.е. последовательность {S_2n}^∞ не убывает.

S_2n запишем в следующем виде:

S_2n =a₁-(a₂-a₃) - ….-(a_2n-2-a_2n-1)-a_2n≤a₁

Последовательность {S_2n} не убывающая и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел:

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм ряда с нечётными номерами {S_2n+1} и найдём предел этой последовательности.

, т.к.  по условию. Отсюда следует, что  . Теорема Лейбница справедлива для рядов

 т.к. данный ряд получается из ряда  умножением на (-1), что не меняет сходимости ряда. Для ряда  справедливо равенство: |S|<|a₁|.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология