Тепловая схема составного стержня

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Постановка задачи.

Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах стержня происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные:

· температура среды и коэффициент теплоотдачи со стороны левой границы стержня равны: Та1=300 ⁰С и α1=5 Вт/м^{2 0}С, со стороны правой – Та2=0⁰С и α2=20 Вт/м^{2 0}С;

· длина стержня L равна 20 мм;

· теплопроводность стержня λ = 0,1 Вт/м ⁰С;

· радиус стержневого элемента r= 5 мм.

 Решение задачи.

Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на три конечных объема длиной Δx=0.01м и площадью сечения S, равной площади поперечного сечения стержня. Соответствующая тепловая схема приведена на рис 1.1. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис 1.1 от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 3 (на правом торце стержня).

а)

б)

Рисунок 3. Одномерный стержень, разбитый на конечные объемы (а) и его тепловая схема (б)

Рассмотрим баланс потока теплоты в i-ом выделенном объеме, воспользовав­шись интегральным уравнением теплового баланса

где Vi = S∆xi – объем i-го элемента;

S*_i- площадь всей поверхности выделенного i -го объема. Индекс i относит рассматриваемые переменные к i-му выделенному объему.

Поверхностный интеграл в левой части уравнения  выражает суммар­ный тепловой поток, пересекающий поверхность выделенного i-ro объема. Учи­тывая, что тепловой поток вдоль стержня одномерен (не изменяется в направле­нии перпендикулярном оси х), а тепловой поток с боковой поверхности стержня отсутствует (поскольку рассматривается теплоизолированный с боковой по­верхности стержень) можно записать, например, для узла 2, что

где J₂ и J₃ - тепловые потоки на левой и правой границах выделенного объема.

За положительное направление вектора теплового потока принято направление, соответствующее вытеканию из объема теплового по­тока.

Так как, рассматриваемая задача является стационарной, т.е. dT/dt =0 и внутренние источники теплоты  отсутствуют, то уравнение принимает следующий вид:

Уравнения теплового баланса, записанные для узлов тепловой схемы, имеют вид:

где R1, R2, R3, R4 – тепловые сопротивления выделенных объемов между узлами. 

Баланс потоков теплоты, протекающих в ветвях соединенных с узлами 1, 2, 3 выражаются следующими уравнениями

Ориентированный граф тепловой схемы представлен на рис.4. Номера ветвей указаны в кружках.

Рисунок 4. Ориентированный граф тепловой схемы

В стационарном случае, вектор-столбец температур Т описывается матричным уравнением, при , т.е.

Введя вектор-столбец тепловых потоков ветвей J=||J1 J2 J3 J4||^Т, систему уравнений можно записать в матричном виде

                                             AJ=0                                              

Матрица A называется матрицей инциденции, для рассматриваемого случая имеет размерность 3*4 и равна:

 Уравнение является, по существу, дискретным уравнением баланса тепловых потоков в тепловой схеме. Вид матрицы A нетрудно понять. Строки матрицы соответствуют узлам графа и расположены согласно их номерам от 1 до 3 сверху вниз, а столбцы матрицы соответствуют ветвям графа, причем номер столбца равен номеру ветви в тепловой схеме.

Разности температур в ветвях графа можно представить в виде вектора- столбца ΔT:

Введя вектор столбец температур узлов графа

простым перемножением легко убедится, что вектор-столбец можно записать в следующем матричном виде:

где - вектор-столбец известных температур в ветвях 1 и 4 тепловой схемы.

Сравнение матрицы инциденций A и матрицы в соотношении показывает, что последняя матрица является транспонированной по отношению к матрице А, т.е. равна А^Т, поэтому вектор-столбец ΔТ в соотношении можно записать в матричном виде через транспонированную матрицу инциденций А^Т, т.е.

                                        ΔТ=А^ТТ                                                     

Полученные матрично-топологические соотношения и устанавливают связь между тепловыми потоками в ветвях тепловой схемы и преобразование узловых температур в разности температур в ветвях. Матрица инциденций А отображает структуру тепловой схемы.

Матрица А, естественным образом, была получена из системы уравнений баланса тепловых потоков в узлах графа.

Для исчерпывающего описания графа тепловой схемы необходимо располагать соотношениями, связывающими тепловые потоки и разности температур в ветвях графа, в соответствии с элементами схемы, представленными ветвями.

Выше было показано, что тепловой поток J_i в i-ой ветви равен J_i=g_iΔT_i.

Тогда связь векторов-столбцов J и ΔТ может быть записана в следующем матричном виде:

где G – квадратная матрица проводимостей ветвей размерностью М*М, М – количество ветвей графа.

Матрица проводимостей G формируется следующим образом: если ветвь i представляет собой тепловую проводимость g_i (кондуктивную или конвективную), то элемент ii матрицы G равен g_i.

Конвективные тепловые проводимости с торцов стержня, которые входят в ветви с номерами 1 и 4 равны соответственно  и .

Тепловые кондуктивные проводимости, которые входят в ветви с номерами 2 и 3 равны  и

Строим матрицу проводимостей G:

Введем матрицу B, которая находится по формуле:

где А^Т – транспонированная матрица А.

Подставляя выражения (1.8), (1.12), (1.15) и (1.16) в уравнение (1.18)

находим искомые температуры в узлах стержневого элемента.

Отсюда температуры равны:Т1=166.7 ⁰С; Т2=100 ⁰С; Т3=33.3 ⁰С.

Распределение температуры в стержневом термодинамическом элементе представлены на рис. 5.

Рисунок 5. График распределения температур по длине одномерного стержня

Рассмотрим составной стержневой элемент, состоящий из двух кусков разных материалов. Температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси х, направленной по длине стержня. Разобьем стержень на равные конечные объемы и зададим граничные условия 1 рода, т.е. на левом и правом торцах стержня известна температура Т1 и Т5 соответственно.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте