Однородный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Решение задачи.

Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на 10 конечных объемов длиной h=0.01м. Соответствующая тепловая схема приведена на рис.1. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис.1 от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 10 (на правом торце стержня).

              а)

                         б)

Рисунок 1. Стержень, теплоизолированный с боковой поверхности (а) и его тепловая схема (б)

Составим матрицу инциденции A, которая в рассматриваемом примере имеет размерность 10*11:

Матрица проводимостей G имеет размерность 11*11, является диагональной:

Матрица теплоемкостей C имеет размерность 10*10, является диагональной и ее диагональные элементы равны:

где S – площадь сечения стержня, м²;

ρ – плотность стали, кг/м³;

с – теплоемкость стали;

h – расстояние между границами объема, м.

Строим матрицу C:

Вектор-столбец Ta известных температур среды равен:

Матрично-топологическое уравнение тепловой схемы относительно вектора неизвестных температур в узлах схемы  имеет вид:

Уравнение является матричным дифференциальным уравнением в обыкновенных производных и описывает нестационарные температуры в узлах тепловой схемы.

Примем начальные температуры в узлах равными 0 ⁰С, т.е.

Рассмотрим решение нестационарного матричного уравнения

где H(t) – положительно определенная матрица для всех t ≥ 0 и равна ;

с начальным условием

                                      T(0)=T₀,                                                

Для решения нестационарного матричного уравнения с начальным условием используем явный метод Эйлера. Явный метод Эйлера приводит к итерационной процедуре:

где m – номер итерации;

τ – шаг по времени;

E – диагональная единичная матрица;

Диагональная единичная матрица E, имеющая размерность 10*10 равна

В явном методе Эйлера значение вектора-столбца температуры T_m в следующий момент времени t_m находится пересчетом по формуле на основании известного значения температуры T_m-1 в предыдущий момент времени t_m-1.

Зададим дополнительные условия для решения задачи:

1) шаг по времени τ = 2;

2) максимальное время M = 100 с.;

3) условие m…M;

Подставив все известные величины в уравнение, найдем температуры в узлах через 1с., 40с., и 100 с.:

                        .

Рисунок 2. График зависимости температуры от безразмерной координаты в моменты времени через 1, 40 и 100 с.

Рассмотрим одномерный стержень, поперечное сечение которого столь мало, чтобы можно было пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси х, направленной по длине стержня.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США