Неравенство | х | £ а, где (а > 0) равносильно двойному неравенству

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Тема:   Множества, операции над ними 

  Теоретические сведения

Под множеством понимают совокупность объектов любой природы, обладающих некоторым общим свойством. Множества обозначают Объекты, объединенные одним общим свойством, называют элементами множества и обозначают . Если элемент «а» принадлежит множеству А, то это записывают таким образом . Множество, число элементов которого конечно, называют конечным и бесконечным в противном случае.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества:  

- действительных чисел,

- рациональных,

- иррациональных,

- целых {0,±1, ±2, …,},

- натуральных чисел {1, 2, 3, …, n,…}.

Конечные множества разделяются на счетные и несчетные. Если элементы бесконечного множества можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел, то оно называется счетным и несчетным в противном случае. Так, множество четных чисел {2, 4, …, 2n,…}. – счетное, множество действительных чисел  – несчетное.

Конечные и счетные множества называются дискретными множествами.

Между двумя множествами A и B может выполняться отношение включения Í: AÍBтогда и только тогда, когда каждый элемент множества A является в то же время элементом множества B, т.е. является истинной следующая импликация: (xÎA)Þ(xÎB), а множество A называется подмножествоммножества B. Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. одновременно AÍB и BÍA. В этом случае является истинной следующая равносильность (xÎA)Û(xÎB). Наряду со знаком включения “Í” используется также знак “Ì” строгого включения, который означает “включено, но не совпадает”.

Если AÌB, то множество A называется собственным подмножеством множества B. Пусть, например, A={1,2,3}, B={1,3}, C={4,5,6}, D={3,2,1}. Тогда BÍA, причем, также и BÌA. Утверждение, что СÍA является неверным. Выполняется отношение DÍA, но отношение DÌA уже не выполняется.

Если каждый элемент множества А является также элементом множества В, то множество А называется частью, или подмножеством множества В и обозначается .

Если  и , то множества А и В называются равносильными и обозначаются .

Например, очевидно, что

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø.

Множество всех подмножеств множества X имеет специальное обозначение: P(X) и называется экспонентой множества X. 

 Важнейшей характеристикой множества является его мощность , т.е. количество элементов в нем. Мощность множества X обозначается одним из двух возможных способов: как |X| или как card(X). 

Например, для множества A из предыдущего примера имеем  |A|=4, что также можно записать в виде card(A)=4, для множества B имеем |B|=2. Интересным является тот факт, что для любого множества A выполняется равенство: ½P(A)½=2^½A½.

Например, для множества A={1,2,3}, для которого ½A½=3, множество P(A) уже было выписано нами ранее и легко видеть, что ½P(A)½=8=2 ³ . Мощность пустого множества равна 0: |Æ|=0. Если BÍA, то |B| £ |A|, если же включение строгое: BÌA, то и неравенство строгое |B| < |A|.

Над множествами можно выполнять различные операции. К важнейшим из их относятся объединение, пересечение, дополнение, разность и симметрическая разность. 

Операции над множествами

  Пусть даны два множества A и B.

· объединение AÈBопределяется согласно правилу

AÈB={x: xÎA или xÎB},

· пересечение AÇB - по правилу  

 AÇB ={x: xÎA и xÎB}, 

· разность по A\B по правилу   

 A\B ={x: xÎA и xÏB}, 

· симметрическая разность 

AÅB={x:((xÎA) и (xÏB)) или :((xÏA) и (xÎB))}.

Таким образом, объединение включает все элементы обоих множеств, пересечение- элементы, которые входят в оба множества одновременно, разность- элементы, входящие в первое множество и не входящие во второе, симметрическая разность- элементы, которые не входят одновременно в оба множества.

Пример 1. Пусть A={1,2,3,4}, B= {3,4,5}. Тогда, в соответствии с данным определением будем иметь:  AÈB={1,2,3,4,5},   AÇB ={3,4},   A\B ={1,2}, AÅB={1,2,5}.

Названные операции могут быть проиллюстрированы диаграммами Эйлера-Венна.

Геометрически множество действительных чисел  изображается точками числовой прямой (или числовой оси), то есть прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существуют взаимно однозначное соответствие, то есть каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».

Множество , , называется

§ отрезком (или сегментом), обозначается [ ],

если элементы х удовлетворяют неравенству ;

§  интервалом ,

если элементы х удовлетворяют неравенству ,

§ полуинтервалами, соответственно [ ) и ( ],

если неравенствам  или ,

Всякий интервал, содержащий точку а, называется

окрестностью точки а.

Интервал , то есть множество точек х таких, что ,

где , называется  - окрестностью точки а.

Неравенство, содержащее абсолютную величину , соответствует двойному неравенству  или .

Соответствует двойному неравенству : геометрически это неравенство определяет интервал с центром в точке  и длиной

При решении неравенств, содержащих абсолютную величину, полезно иметь ввиду следующие свойства:

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры