Лабораторная работа № 4. Прогнозирование временных рядов на основе уравнений регрессии

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Цель работы: Освоить технологию построения регрессионных моделей для прогнозирования временных рядов в среде Excel

Теоретическая часть

Временной ряд (ВР) y (t) можно интерпретировать в виде суммы двух компонент – детерминированной составляющей f (t) и случайного отклонения e (t).

                                        (4.1)

где - математическая модель временного ряда;

  t – порядковый номер элемента ВР, t =1,2, 3....

В основе моделирования и прогнозирования ВР лежат операции идентификации (определения) функций f (t) и e (t).

Функция f (t) должна иметь такой вид, чтобы сумма квадратов отклонений e (t) была минимальной, т.е.

                                     .                      (4.2)

При построении детерминированной и случайной составляющих модели ВР сначала определяют общий вид функций f (t) и e (t), а затем – их коэффициенты.

Для определения вида f (t) (иногда ее называют трендом) чаще всего используют следующие функции:

                                       ,                             (4.3)

                                                                 (4.4)

                                     ,                              (4.5)

где: выражение (4.3) представляет собой полином первой степени (линейная зависимость), (4.4) - полином второй степени (параболическая зависимость), а (4.5) – гиперболическая зависимость.

Вид тренда можно выбрать визуально по графическому отображению y (t). В данной работе принимается гипотеза о параболической зависимости, т.е. f (t) определяется по выражению (4.4). Тогда задача нахождения тренда формулируется следующим образом: найти значения коэффициентов а ₀, а ₁ и а ₂ в соответствии с выражениями (4.2) и (4.4). Эта задача решается с использованием метода наименьших квадратов (МНК) и инструментальных средств Excel.

После оценки коэффициентов производят экстраполяцию детерминированной основы модели, позволяющую перенести выводы, полученные на участке наблюдения, на явления, находящиеся вне этого участка. Экстраполяция – процедура установления значений ряда в точках, лежащих вне интервала (t ₁, t_n). Экстраполяция дает точечную прогнозную оценку, вычисление которой осуществляется путем решения найденного уравнения регрессии f (t) для значения аргумента t_{n +к}, соответствующего требуемому времени упреждения . Например, для параболического тренда точечная оценка детерминированной части прогноза вычисляется следующим образом:

                                                  (4.6)

Прогнозирование случайной компоненты e (t) производится методом авторегрессии. Процессом авторегрессии называется процесс, значения которого в последующие моменты времени зависят от его же значений в предшествующие моменты времени:

                                       (4.7)

                                               (4.8)

где b ₁ – b_n    – коэффициенты уравнения авторегрессии;

n – порядок авторегрессии;

u (t) – ошибка авторегрессии.

Расчет коэффициентов b ₁ – b_n также производится методом наименьших квадратов. Выбор порядка авторегрессии является одним из этапов построения модели авторегрессии. В настоящей работе задается порядок авторегрессии n =1.

Построение прогнозирующей модели временного ряда рекомендуется проводить в три этапа:

- построение детерминированной части модели ВР;

- построение стохастической части модели;

- определение полного прогноза ВР на основе результатов двух предыдущих этапов.

Порядок выполнения работы

4.2.1 Построение детерминированной части прогнозирующей модели ВР

1.  Ввести исходные данные ВР (не менее 20 чисел) в столбец A первого листа программы Excel, как показано на рисунке 4.1;

2. Предположим, что исходный временной ряд описывается выражением 4.4. Для построения параболической зависимости необходимо в столбец B ввести нумерацию элементов ВР t, а в столбец С квадрат t, т.е. t ²;

3. Для вычисления коэффициентов модели и дополнительных результатов статистики в правой части экрана с помощью левой кнопки мыши выделить область пустых ячеек размером 5´3 (5 строк и 3 столбца, количество столбцов должно соответствовать количеству оцениваемых коэффициентов).;

3. Активизировать режим вычисления коэффициентов уравнения регрессии в следующем порядке:

- для Excel 2003: «Вставка→Функция→Статистические →Линейн. →Ок»;

- для Excel 2007:перейдите на вкладку «Формулы» и выбрать пункты «Вставить функцию→Функция→Статистические →Линейн. →Ок»;

4. В появившемся окне ввести следующие исходные данные:

- Известные_значения_у – диапазон, содержащий данные об объекте (выделить мышью столбец А);

- Известные_значения_х – диапазон, содержащий данные времени и квадрата времени (выделить столбцы B и C);

- Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении 4.4 (если вставить “1”, то свободный член a ₀  рассчитывается, если  -«0», то свободный член равен 0);

- Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет.

Для подтверждения выбранных параметров нужно нажать комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

В рассмотренном примере на рисунке 4.1 данные коэффициенты приняли следующие значения: а ₀= 4.2828, а ₁= -0.032, а ₂= 0.0023. Искомое уравнение регрессии детерминированной части модели (4.4) выглядит следующим образом:

                                       ŷ _t                                        (4.9)

5. Рассчитать модельные значения y_t в диапазоне t =1-20, подставляя в полученное уравнение значения t и t ². Все данные в таблице должны быть отцентрированы, дробные числа округлены до третьего знака после запятой. Результаты расчетов примера представлены на рисунке 4.1 в столбце D (Y _пр1).     

6. Используя графические инструменты Excel, построить графики исходного ВР Y  и прогнозируемого ВР Y _пр1, расcчитанного по выражению (4.4). Сопоставить сходство графиков. Если они сильно отличаются, то возможна ошибка в расчетах.   

7. Рассчитать прогнозные оценки ВР на моменты времени t =21; t =22; t =23. Построить график модельных данных для t =1,2,3,...,23 (рисунок 4.1 «б»).

4.2.2 Построение стохастической части модели ВР

1. Для каждого наблюдения ряда в столбце E рассчитать отклонения e (t), как разность между соответствующими данными столбцов A и D так, как показано на рисунке 4.1 «а»;

2. Для определения коэффициента b ₁ уравнения (4.7) расположим в расчетной таблице данные случайной компоненты так, как показано в столбце F на рисунке 4.1«а»;

а)

б)

Рисунок 4.1 – Расчетные данные («а») и графики прогнозирующей модели ВР  («б»)

3. Определим коэффициент b ₁ модели авторегрессии, для этого повторить пункты 3-4 раздела 4.2.1. с учетом того, что в данном случае определяются коэффициенты уравнения первого порядка. В окно исходных данных вставить следующие значения:

- Известные_значения_у – выделить мышью диапазон ячеек E 3- E 21;

- Известные_значения_х – выделить мышью диапазон ячеек F 3- F 21.

В ячейке I 9 представлено расчетное значение коэффициента b 1= 0.6257. В результате расчетов методом наименьших квадратов уравнение авторегрессии первого порядка имеет вид: 

                                                             (4.10)

Уравнение (4.10) построено без свободного члена b ₀;

4. В столбце G расчетной таблицы (рисунок 4.1 «а») по выражению (4.10) рассчитать модельные значения случайной компоненты для t =2,3,4,...,21.

     5. Используя выражение (4.10), в ячейках G 23- G 25 рассчитать прогнозные значения случайной компоненты для t =22,23,24. При вычислении e (22) в ячейке G 23 использовать значение e (21) из ячейки G 22, при вычислении e (23) в ячейке G 24 использовать значение e (22) из ячейки G 24 и так далее.

4.2.3 Расчет оценок полного прогноза

Расчет оценок полного прогноза  производится по выражению (4.1) для t =21,22,23,24 в ячейках H 22- H 25 по данным ячеек D 22 и G 22, D 23 и G 23, D 24 и G 24, D 25 и G 25. По результатам расчетов, представленных в колонках A, D и H построить графики исходного ВР, прогноза на основе детерминированной модели и графика оценок прогноза с учетом случайной компоненты. На рисунке 4.1 «б» для выбранного примера эти графики обозначены как Y, Y _пр1 и Y _пр2.    

Как видно из рисунка, график Y _пр2 более близок к графику Y, что свидетельствует о повышении точности прогнозных оценок при учете случайной компоненты. Дать анализ графиков, полученных в результате выполнения заданного варианта. 

4.3 Контрольные вопросы

1. Привести примеры экономических и технических задач, где нужны прогнозные оценки.

2. Дать характеристику модели прогноза.

3. Как выбираются модели детерминированной и стохастической составляющей прогноза?

4. Описать процесс определения коэффициентов модели в среде Exсel.

5. Чем отличаются процедуры интерполяции и экстраполяции ВР?

Варианты заданий

В таблице 4.1 представлены данные временных рядов для прогнозирования.

Таблица 4.1 – Таблица временных рядов

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры