Задача 7. Исследование поступательного и вращательного движений твердого тела

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

    Механическая система состоит из колес 1 и 2 и груза 3 (см. рис. 18 а, б, в). К одному из колес приложена движущая сила , к другому – момент сил сопротивления . Другие силы сопротивления движению системы не учитывать. Даны массы тел ,  и , радиусы больших и малых окружностей колес , , , . Колеса, для которых радиусы инерции  и  не заданы, считать сплошными однородными цилиндрами. Время t отсчитывается с некоторого момента (), когда угловая скорость ведущего колеса равна . Исходные данные указаны в таблице 9.

    Определить:

1. Уравнение движения ведущего колеса;

2. Натяжения нитей, а в тех вариантах, где имеется соприкосновение колес, также окружное усилие в точке их касания.

Указания

    В данной механической системе колеса 1 и 2 совершают вращательные движения вокруг неподвижных осей, груз 3 – поступательное движение.

    Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела:

,

где  – момент инерции тела относительно оси вращения;  – алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения.

    Дифференциальное уравнение поступательного движения твердого тела:

,

где  – сумма проекций всех внешних сил, действующих на систему, на координатную ось.

    Для решения задачи необходимо разделить систему на отдельные тела и составить дифференциальные уравнения движения каждого тела. Следует иметь в виду, что: 1) при составлении дифференциального уравнения поступательного движения тела направление координатной оси должно соответствовать направлению движения тела; 2) при составлении дифференциального уравнения вращательного движения тела силы, приводящие в движение колесо, дают положительные моменты, силы, препятствующие движению колеса – отрицательные моменты.

    Пример решения задачи

Дано: m ₁ = 500 кг, m ₂ = 200 кг, m ₃ = 400 кг, F = 10000 Н, М_С = 600 Нм, R ₁ = 0,6 м, R ₂ = 0,5 м, r₂ = 0,25 м, ρ₂ = 0,4 м, ω₂₀ = 2 с^-1 (см. рис. 17).

Определить: уравнение движения ведущего колеса; натяжения нитей, окружное усилие в точке касания колес.

Решение:

    Показываем направления движения тел под действием силы . Разделяем систему на части и рассматриваем движение каждого тела отдельно, начиная с ведущего тела (тела, к которому приложена движущая сила ). В нашем случае ведущее тело – колесо 2.

Рис. 17

Рассмотрим вращательное движение колеса 2. Действующие внешние силы: движущая сила , вес , окружное усилие  (сила сопротивления), нормальная реакция  поверхности колеса 1, натяжение нити , реакция в шарнире А . Составляем дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 2 относительно оси вращения :

.

Здесь: , .

    Тогда:

. (1)

Рассмотрим вращательное движение колеса 1. Действующие внешние силы: движущая сила – окружное усилие  (), вес , момент сопротивления , реакция в шарнире B , нормальная реакция  поверхности колеса 2 (). Составляем дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 1 относительно оси вращения :

.

Здесь: , .

    Тогда:

. (2)

    Рассмотрим поступательное движение груза 3. Действующие внешние силы: движущая сила – натяжение нити  (), вес . Составляем дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3 в проекции на координатную ось z;

.

Здесь: .

    Тогда:

. (3)

    Составляем уравнения связей между телами. Так как колеса 1 и 2 находятся в зацеплении, то . Тогда: . Откуда:

 (4)

    Колесо 3 связано с грузом 3 нитью, поэтому . Тогда:

. (5)

    Подставляя зависимости (4) и (5) в уравнения (2) и (3), получаем:

, (6)

. (7)

    Теперь решаем систему уравнений (1), (6) и (7), исключая S () и T (). Для этого уравнение (1) умножаем на , уравнение (6) – на , а затем складываем их левые и правые части. Получаем:

. (8)

    Из уравнения (7)

. (9)

    Тогда уравнение (8) примет вид:

. (10)

Откуда:

 (11)

    Интегрируя выражение (11) дважды по времени, получаем:

,

.

    Из начальных условий (при ) определяем константы интегрирования: , .

    Таким образом, уравнение движения колеса 2 примет вид:

, рад

    Из уравнения (9) определяем натяжение нити T:

 Н

    Из уравнения (6) определяем окружное усилие S:

 Н.

Ответ: , рад;  Н,  Н.

Таблица 9

1              1                             2                                                             Мс                                                             3	2                                  2            1                                                        3
3 1                                        2                                                                                                                           3	4 Mc                  1                            2 3
5                         1    Mc                                                                                                   2                        3	6                            1                                                  2
7 1                                                    2                                         Мс                                                                                           3	8 1                                             2                                               Мс                 3
9              2                                    3	10                       2   1                                                                                                       Mc                  3

Рис. 18, а

11                                                                                          Мс                                                      1         2                                                            3	12                                                    Mc              1                                                                                            3                        2
13                                                        Mc                                                                      2                            1                             3	14                                                                       Mc                                                       1  3                        2
15               1                                                            2                                                                       Mc                                     3	16     1                                            Mc                                                                                                     3          2
17 Mc                                                            1                                                3 2	18                                                   2                                                               3 Mc
19 Mc                                                                 2    1                                               3	20   1                                                2                                                                                                                                                           Mc                                                    3

Рис. 18, б

21 Mc                                                                            2 2                1                                                       3	22               3                                   2
23           2                                     1                                                                                                                                                                           3                        Мс	24                                                                   Мс                                                    3                               1           2
25                       1              2                                                      3	26                          1                                                            Mc
⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒	Поделиться:

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов