Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 25Следующая ⇒

Жидкость, для которой не учитывается вязкость, называется идеальной. Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости внутри некоторой трубки (рис. 8.1). За промежуток времени  сквозь сечение  на расстояние  пройдет объем жидкости  со скоростью . Аналогично за тот же промежуток времени сквозь сечение  на расстояние  пройдет объем жидкости  со скоростью . Поскольку жидкость несжимаема, то эти объемы одинаковы:

, т.е. ,

.

Полученное соотношение называют уравнением неразрывности. Из него следует, что линейная скорость жидкости уменьшается с увеличением площади сечения трубки.

Решение многих гидродинамических задач основывается на уравнении Д. Бернулли (1738), устанавливающем связь между давлением p, скоростью  и высотой жидкости h над некоторым нулевым уровнем (рис. 8.2).

Рис. 8.1		Рис. 8.2.

Рассмотрим установившийся поток идеальной несжимаемой жидкости в узкой трубке между сечениями  и . Кинетическая энергия потока жидкости массой m, протекающего за время  через сечение , равна , а потенциальная энергия - . Соответственно полная механическая энергия потока в сечении : . Аналогично, полная энергия потока жидкости, протекающего за то же время  через сечение : . Работа, которую совершают силы давления, действующие в сечениях  и , определяется по формуле: .

Приращение полной механической энергии потока жидкости равно работе внешних сил, т.е.

,

.

Сократим обе части полученного равенства на  и перегруппируем слагаемые:

 .

Полученное уравнение называют уравнением Бернулли. В этом уравнении p - статическое давление, оно характеризует давление, которое оказывают друг на друга соседние слои жидкости;  - динамическое давление, оно обусловлено движением (напором) жидкости;  - гидростатическое давление, создаваемое весом столба жидкости высотой h; g - ускорение свободного падения.

Смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, динамического и гидростатического давлений, одинаково во всех поперечных сечениях трубки.

Для горизонтальной трубки переменного сечения (рис. 8.3) уравнение Бернулли имеет вид:

.

Это подтверждает опыт с манометрическими трубками: , .

Можно подобрать условия, при которых давление жидкости в узком участке трубки станет меньше атмосферного давления, и тогда струя жидкости будет оказывать всасывающее действие на воздух. Данный эффект используется в ингаляторах и аэрозолях (рис. 8.4).

Рис. 8.3		Рис. 8.4

Поместим в поток жидкости две измерительные трубки (трубки Пито) (рис. 8.5). В прямой трубке действует только статическое (боковое) давление, которое уравновешивается атмосферным давлением и давлением столба жидкости: . В изогнутой трубке действует статическое и динамическое давление (т.к. частицы жидкости, попадающие в отверстие изогнутой трубки, останавливаются, и их кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию): . Вычитая из второго уравнения первое, получаем:

,

, где ,

.

Таким образом, по разности уровней жидкости в трубках Пито можно определить скорость потока жидкости.

Рис. 8.5

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману