Элементы интегрального исчисления

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 25Следующая ⇒

Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Если основной задачей дифференциального исчисления было отыскание производной данной функции, то основной задачей интегрального исчисления является отыскание функции по ее производной.

Функция  называется первообразной для функции , если выполняется тождество . Пример: , , .

В качестве первообразной для функции  можно взять , С –произвольная постоянная, так как .

Совокупность всех первообразных для функции  называется неопределенным интегралом: . Чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции , необходимо записать подынтегральное выражение , найти первообразную  и добавить к ней постоянную C. Пример: .

Правила интегрирования:

1) ;

2) .

Таблица неопределенных интегралов:

Методы интегрирования:

1) метод замены переменных

, .

Пример: ,

, , , .

2) метод интегрирования по частям: .

Пример: .

Определенный интеграл

Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью Ox, графиком непрерывной функции  и двумя вертикальными прямыми  и  (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Разделим основание трапеции  на n частичных интервалов , ,..., , считая что . Проведем через эти точки прямые, параллельные оси Oy, тогда фигура aABb разделится на n элементарных криволинейных трапеций.

Обозначим , . Возьмем некоторую точку  из малого интервала . Вычислим площадь элементарного прямоугольника с основанием  и высотой : . Сумма площадей всех прямоугольников является приближением для площади криволинейной трапеции:  - интегральная сумма. Причем чем меньше  (больше n), тем это приближение точнее, т.е. .

В общем случае предел, к которому стремится интегральная сумма  при , называется определенным интегралом и обозначается .

Для того чтобы вычислить определенный интеграл от заданной функции , надо: 1) вычислить первообразную для заданной функции ; 2) в полученном выражении подставить , затем  и из первого результата вычесть второй:

. (формула Ньютона-Лейбница)

Пример: .

Глава 3

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее в общем случае аргумент, функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков .

Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящего в него.

Пример: обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка .

Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения является множество решений, содержащее произвольную постоянную C: .

Решение дифференциального уравнения, не содержащее произвольной постоянной, называется частным. Для его нахождения надо знать так называемые начальные условия, то есть пару значений . Подставляя начальные условия в общее решение, можно определить постоянную интегрирования C. Возвращаем ее значение в общее решение, в результате получаем частное решение дифференциального уравнения.

Пример: дифференциальное уравнение  имеет общее решение . Пусть начальное условие задано в виде:  при . Тогда из общего решения найдем постоянную C: , . Откуда  - частное решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде: . Правая часть этого уравнения есть произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Пример: , , .

Запишем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в виде . Отсюда получим . Найдем интеграл . Решая его, получим выражение , из которого выражаем общее решение .

Пример: решим дифференциальное уравнение  с начальными условиями . Для этого представим уравнение в виде  и далее , ,  - общее решение. Воспользуемся начальными условиями, чтобы найти постоянную интегрирования: , . Тогда  - частное решение.

Глава 4

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров