Механика. Основы молекулярной

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 7Следующая ⇒

ФИЗИКА

Методические рекомендации к практическим занятиям

для студентов всех специальностей и направлений подготовки очной и заочной форм обучения

МЕХАНИКА. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ

ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Могилев 2018

УДК 535

ББК 22.33

   Ф 55

Рекомендовано к изданию

учебно-методическим отделом

Белорусско-Российского университета

Одобрено кафедрой «Физика» «29» января 2018 г., протокол № 5

Составители: канд. физ.-мат. наук П. Я. Чудаковский;

ст. преподаватель Н. С. Манкевич;

ст. преподаватель В. Ф. Холомеев

Рецензент канд. тех. наук, доц. И. Д. Камчицкая

В методических рекомендациях приводятся общие требования к решению задач, основные понятия и формулы по разделам физики «Механика», «Молекулярная физика и термодинамика», а также таблицы физических постоянных.

Учебно-методическое издание

ФИЗИКА

        Ответственный за выпуск               А. В. Хомченко

        Технический редактор                    П. Я. Чудаковский

        Компьютерная верстка                   П. Я. Чудаковский

Подписано в печать 26.02.2018. Формат 60´84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс   Печать трафаретная. Усл. печ. л. 2,09. Уч.-изд. л. 2,3. Тираж 50 экз. Заказ № 2440.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско-Российский университет».

Свидетельство о государственной регистрации издателя,

изготовителя, распространителя печатных изданий

№ 1/156 от 24.01.2014.

Пр. Мира, 43, 212000, Могилев.

                                              © ГУ ВПО «Белорусско-Российский

                                              университет», 2018

Содержание

1 Общие указания к решению задач. 4

2. Физические основы механики. 5

2.1 Основные формулы.. 5

2.2 Типовые задачи. 10

3 Молекулярная физика и термодинамика. 18

3.1 Основные формулы. 18

3.2 Типовые задачи. 23

Список литературы.. 31

Приложение А.. 32

Общие указания к решению задач

    Предлагаемые методические рекомендации содержат задачи из двух разделов общего курса физики в соответствии с учебными программами курса, читаемого на кафедре «Физика», «Механика» и «Молекулярная физика и термодинамика». Данное издание предназначено для самостоятельной работы студентов и проведения практических занятий.

Решения задач следует начинать с краткой записи условия с приведением его к СИ. Значения физических величин и постоянных представлены в таблицах А.1–А.14. Решения необходимо сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями; в тех случаях, когда это возможно, дать чертеж, выполненный с помощью чертежных принадлежностей.

Решать задачу надо в общем виде, т. е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При таком способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.

После получения расчетной формулы для проверки ее правильности следует подставить в правую часть формулы вместо символов величин обозначения единиц этих величин, произвести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине. Если такого соответствия нет, то это означает, что задача решена неверно.

Числовые значения величин при подстановке их в расчетную формулу следует выражать только в единицах СИ. В виде исключения допускается выражать в любых, но одинаковых единицах числовые значения однородных величин, стоящих в числителе и знаменателе дроби и имеющих одинаковые степени.

При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти. Например, вместо 3520 надо записать 3,52 · 10³, вместо 0,00129 записать 1,29 · 10^–3 и т. п.

Вычисления по расчетной формуле необходимо проводить с соблюдением правил приближенных вычислений [6]. Как правило, окончательный ответ следует записывать с тремя значащими цифрами. Это относится и к случаю, когда результат получен с применением калькулятора.

Физические основы механики

Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x:

x = f (t),

где x – некоторая функция времени t.

Проекция средней скорости на ось x

 =

Средняя путевая скорость

где Δ s – путь, пройденный точкой за интервал времени Δ t.

Путь Δ s в отличие от разности координат Δ x = x ₂ – x ₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. Δ s 0. Тогда проекция мгновенной скорости на ось x

Проекция среднего ускорения на ось x

Проекция мгновенного ускорения на ось x

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

φ = f(t) (r = R = const),

где φ – угловое перемещение.

Модуль угловой скорости

Модуль углового ускорения

.

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

V = ω · R;  a _τ = ε · R; a _n = ω ² · R,

где V – модуль линейной скорости;

a _τ и a _n – модули тангенциального и нормального ускорений;

ω – модуль угловой скорости;

ε– модуль углового ускорения;

R – радиус окружности.

Модуль полного ускорения

или .

Угол между полным   и нормальным  ускорениями

α = arccos(a _n / a).

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

Второй закон Ньютона

где  – результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

– сила упругости

,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость);

D – абсолютная деформация;

– сила гравитационного взаимодействия

F = γ

где γ – гравитационная постоянная;

m ₁ и m ₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

– сила тяжести

,

где g – ускорение свободного падения.

В случае гравитационного притяжения тела к Земле

где М и R – масса и радиус Земли соответственно;

– сила трения (скольжения)

F = μ · N,

где μ – коэффициент трения;

N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

,

для двух тел (i = 2)

,

где  и   – скорости тел в момент времени, принятый за начальный;

   и   – скорости тех же тел в конечный момент времени.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

T = m · V ² / 2

или

T = p ² / 2 m.

Потенциальная энергия:

– упругодеформированной пружины

П = k · x ² / 2,

где k – жесткость пружины;

x – абсолютная деформация;

– гравитационного взаимодействия

,

где γ – гравитационная постоянная;

  m ₁ и m ₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

– тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = m · g · h,

где g – ускорение свободного падения;

h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h << R, здесь R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии

E = T + П = const.

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

А = T = T ₂ – T ₁.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

,

где   – результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело;

  – угловое ускорение;

  J _z – момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

– стержня длиной L относительно оси, перпендикулярной стержню,

;

– обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

J _z = m · R ²,

где R – радиус обруча (цилиндра);

– диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

.

Проекция на ось z момента импульса тел, вращающихся относительно неподвижной оси z,

L _z = J · ω,

где ω – угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

J _z ·  = const,

где J _z – момент инерции системы тел относительно оси z;

  – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

или  

T = L _z² / (2 J _z).

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

,

где l ₀ – длина стержня в системе, относительно которой стержень покоится (собственная длина);

l – длина стержня, относительно которой он движется;

β – скорость частицы, выраженная в долях скорости света, β = V / c.

Промежуток времени ∆ t в системе, движущейся по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени ∆ t ₀ в неподвижной для наблюдателя системе отношением

.

Релятивистская масса

,

где m₀ – масса покоя.

Релятивистский импульс

.

Полная энергия релятивистской частицы

,

где Т – кинетическая энергия частицы;

Е ₀ – энергия покоя частицы, .

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

.

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

.

Типовые задачи

Релятивистская механика

2.76 Определить скорость, при которой релятивистское сокращение линейных размеров тела составляет 10 %.

2.77 Собственное время жизни нестабильной частицы ∆t_o = 10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни ∆t = 20 нс?

2.78 В системе К' покоится стержень, собственная длина которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол 45º с осью Х'. Определить длину системы стержня и угол в системе К, если скорость системы К^′ относительно К равна 0,8 с.

2.79 Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого Т = 1 ГэВ.

2.80 Сколько времени пройдет на земле, если в ракете, движущейся со скоростью v = 0,95 с относительно Земли, пройдет t = 10 лет?

2.81 Один близнец отправляется в космическое путешествие, другой остается на Земле, причем путешествие длится 40 лет (по земным часам) со скоростью v = 0,2 с. Определить, на сколько моложе окажется космический путешественник.

2.82 Во сколько раз релятивистская масса частицы, скорость которой отличается от скорости света на 0,01 %, превышает ее массу покоя?

2.83 Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в 2 раза превышает её ньютоновский импульс.

2.84 Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой m от 0,6 до 0,8 с? Сравнить результат со значением. вычисленным по нерелятивистской формуле.

2.85 При какой скорости кинетическая энергия любой частицы равна ее энергии покоя?

Основные формулы.

Количество вещества тела (системы)

ν = N / N _A,

где N – число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), составляющих тело (систему);

N _A – постоянная Авогадро, N _A= 6,02 · 10²³ моль^–1.

Молярная масса вещества

μ = m / ν,

где m – масса однородного тела (системы);

  ν – количество вещества этого тела.

Количество вещества смеси газов

ν = ν ₁ + ν ₂ +... + ν _n = N ₁ / N _A + N ₂ / N _A +... + N_n / N _A

или

ν = m ₁ / μ ₁ + m ₂ / μ ₂ +... + m_n / μ _n,

где ν_i, N_i, m_i, μ_i – количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i -го компонента смеси соответственно.

Уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

p · V = ν · R · T =  · R · T,

где m – масса газа;

μ – молярная масса газа;

R – молярная газовая постоянная;

ν – количество вещества;

T – термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева-Клапейрона для изопроцессов:

– закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T = const,               m = const)

p · V = const,

или для двух состояний газа

p ₁ · V ₁ = p ₂ · V ₂;

– закон Гей-Люссака (изобарный процесс: p = const, m = const)

 = const,

или для двух состояний газа

;

– закон Шарля (изохорный процесс: V = const, m = const)

 = const,

или для двух состояний

;

– объединенный газовый закон (m = const)

 = const или ,

где p ₁, V ₁, T ₁ и p ₂, V ₂, T ₂ – давление, объем и температура газа в начальном и конечном состояниях соответственно.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,

p = p ₁ + p ₂ +...+ p_n,

где p _i – парциальные давления компонентов смеси;

n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газов

μ = ,

где m _i – масса i -го компонента смеси;

ν _i – количество вещества i -го компонента смеси, ν_i = m_i / μ_i;

n – число компонентов смеси.

Массовая доля i -го компонента смеси газа (в долях или процентах)

ω_i = m_i / m,

где m – масса смеси.

Концентрация молекул

n =  = ,

где N – число молекул, содержащихся в данной системе;

ρ – плотность вещества;

V – объем системы.

Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

Основное уравнение кинетической теории газов

p = 2/3 n · ,

где  – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

 = 3/2 k · T,

где k – постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы

 = k · T,

где i – число степеней свободы молекулы.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

p = n · k · T.

Скорости молекул:

– средняя квадратичная

;

– средняя арифметическая

;

– наиболее вероятная

,

где m ₁ – масса одной молекулы.

Относительная скорость молекулы

u = V / V_в,

где V – скорость данной молекулы.

Среднее число столкновений молекулы газа за 1 с

,

где d – эффективный диаметр молекулы газа;

n –концентрация молекул газа;

 – средняя арифметическая скорость молекул газа.

Средняя длина свободного пробега молекул (расстояние, проходимое молекулой газа между двумя последовательными столкновениями)

.

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме C_v и постоянном давлении C_p определяются по формулам:

C_v = ; C_p = .

Связь между удельной c и молярной C теплоемкостями

с = C / μ, С = с · μ.

Уравнение Майера

C_p – C_v = R.

Внутренняя энергия идеального газа

U = .

Первое начало термодинамики

Q = U + A,

где Q – теплота, сообщенная системе (газу);

U – изменение внутренней энергии системы;

A – работа, совершенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа

– в общем случае

A =

– при изобарном процессе

A = p (V ₂ – V ₁);

– при изотермическом процессе

A = RT ln ;

– при адиабатном процессе

A = – U = – C_V · T или A = ,

где γ – показатель адиабаты, γ = C_P / C_V.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:

p ·V ^γ = const;    ;

;    .

Коэффициент полезного действия (КПД) цикла

η = ,

где Q ₁ – теплота, полученная рабочим телом от нагревателя;

  Q ₂ – теплота, переданная рабочим телом холодильнику.

КПД цикла Карно

η =  = ,

где T ₁ и T ₂ – температуры нагревателя и холодильника.

Разность энтропий двух состояний B и A определяется формулой

Δ S = .

Типовые задачи

Круговые процессы

3.51 Совершая цикл Карно, газ получил от нагревателя количество теплоты Q₁ = 1002 Дж и совершил работу А = 202 Дж. Температура нагревателя Т₁ = 375 К. Определить температуру холодильника.

3.52 Газ совершил цикл Карно. Температура нагревателя 480 К, холодильника 260 К. При изотермическом расширении газ совершил работу А_р = 100 Дж. Определить термический КПД η цикла, а также количество теплоты Q₂, которое газ отдает холодильнику при изотермическом сжатии.

3.53 Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в n = 3,5 раза выше, чем температура холодильника. Нагреватель передал газу Q = 15 Дж теплоты. Какую работу совершил газ?

3.54 Найти КПД цикла, проводимого с идеальным двухатомным газом и состоящего из двух изотерм с температурами T₁ = 390 К и T₂ = 290 К и двух изохор с объемами V₁ = 20 л и V₂ = 10 л.

3.55 Температура пара, поступающего в паровую машину, t₁ = 127 ºC; температура в конденсаторе t₂ = 27 ºC. Определить теоретически максимальную работу при затрате количества теплоты Q₁ = 4,2 кДж.

3.56 1 кмоль кислорода O₂ совершает цикл Карно в интервале температур от 27 до 327 ºC. Известно, что отношение максимального за цикл давления p_max к минимальному давлению p_min равно 20. Вычислить: КПД цикла η; работу А, совершаемую газом за цикл.

3.57 Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т₁ нагревателя в 4 раза выше температуры Т₂ охладителя. Какую долю ω количества теплоты, получаемого за один цикл от нагревателя, газ отдает
охладителю?

3.58 Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т₁ нагревателя в 3 раза выше температуры Т₂ охладителя. Нагреватель передал газу количество теплоты Q₁ = 42 кДж. Какую работу А совершил газ?

3.59 Цикл, совершаемый двумя киломолями одноатомного идеального газа, состоит из изотермы, изобары и изохоры (рисунок 2). Известно, что максимальный объем газа в 2 раза больше минимального и изотермический процесс совершается при температуре Т = 400 К. Вычислить работу А и КПД цикла η.

Рисунок 2

3.60 Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарного и адиабатного процессов. При изобарном процессе рабочее тело – идеальный газ – нагревается от температуры T₁ = 200 К до T₂ = 500 К. Определить коэффициент полезного действия данного теплового двигателя и двигателя, работающего по циклу Карно, происходящему между максимальной и минимальной температурами данного цикла.

Энтропия

3.61 Найти изменение энтропии при превращении m = 10 г льда при t₁ = –20 ºС в пар при t₂ = 100 ºС.

3.62 Найти прирост энтропии при превращении m = 1 г воды при t₁ = 0 ºС в пар при t₂ = 100 ºC.

3.63 10 г кислорода нагревается от t₁ = 50 ºС до t₂ = 150 ºС. Найти изменение энтропии, если нагревание происходит: изохорически; изобарически.

3.64 640 г расплавленного свинца при температуре плавления вылили на лед при t = 0 ºС. Найти изменение энтропии при этом процессе.

3.65 Найти изменение энтропии при переходе m = 8 г кислорода от объема V₁ = 10 л при температуре t₁ = 80 ºC к объему V₂ = 40 л при температуре t₂ = 300 ºС.

3.66 Найти изменение энтропии при переходе m = 6 г водорода от объема V₁ = 20 л под давлением P₁ = 1,5 · 10⁵ H/м² к объему V₂ = 60 л под давлением P₂ = 1 · 10⁵ H/м².

3.67 Водород массой m = 6,6 г расширяется изобарически до удвоения объема. Найти изменение энтропии при этом расширении.

3.68 Найти изменение энтропии при изобарическом расширении гелия массой m = 8 г от объема V₁ = 10 л до V₂ = 25 л.

3.69 Масса m = 10,5 г азота изотермически расширяется от объема
V₁ = 2 л до V₂ = 5 л. Найти прирост энтропии в этом процессе.

3.70 В результате нагревания m = 22 г азота его абсолютная температура увеличилась в 1,2 раза, а энтропия – на 4,19 Дж/К. При каких условиях производилось нагревание (при постоянном объеме или при постоянном давлении)?

Реальные газы

3.71 Какую температуру имеет масса m = 2 г азота, занимающего объём V = 820 см³ при давлении P = 0,2 МПа? Газ рассматривать как: идеальный; реальный.

3.72 В закрытом сосуде объемом V = 0,5 м³ находится 0,6 кмоль углекислого газа при давлении Р = 3 МПа. Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса, найти, во сколько раз надо увеличить температуру газа, чтобы давление увеличилось вдвое.

3.73 Найти давление, обусловленное силами взаимодействия молекул, заключенных в 1 кмоле газа при нормальных условиях. Критическая температура и критическое давление этого газа Т_к = 417 К и Р_к = 7,7 МПа.

3.74 Во сколько раз давление газа больше его критического давления, если известно, что его объем и температура вдвое больше критических значений этих величин.

3.75 1 моль гелия занимает объем V = 237 м³ при температуре
t = –200 ºC. Найти давление газа, пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса.

3.76 В сосуде объемом V = 10 л находится m = 0,25 кг азота при температуре t = 27 ºC. Какую часть давления газа составляет давление, обусловленное силами взаимодействия молекул? Какую часть объема сосуда составляет собственный объем молекул?

3.77 0,5 кмоль трехатомного газа адиабатически расширяется в вакуум от V₁ = 0,5 м³ до V₂ = 3 м³. Температура газа при этом понижается на 12,2 К. Найти постоянную a, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.

3.78 20 кг азота адиабатически расширяется в вакуум от объема
V₁ = 1 м³ до V₂ = 2 м³. Найти понижение температуры при этом расширении, считая известной для азота постоянную а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.

3.79 Найти коэффициент диффузии гелия при температуре t = 17 ºC и давлении Р = 150 кПа. Эффективный диаметр атома вычислить, считая известными для гелия критические значения Т_к и Р_к.

3.80 Гелий массой m = 10 г занимает объем V = 100 см³ при давлении Р = 100 МПа. Найти температуру газа, считая его: идеальным; реальным.

Список литературы

1 Трофимова, Т. И. Курс физики: учеб. пособие для втузов / Т. И. Трофимова. – М.: Академия, 2007. – 560 с.

2 Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 2001. – 718 с.

3 Трофимова, Т. И. Курс физики. Задачи и решения: учеб. пособие для втузов / Т. И. Трофимова, А. В. Фирсов.– М.: Академия, 2004. – 592 с.

4 Волькенштейн, B. C. Сборник задач по общему курсу физики /
B. C. Волькенштейн. – М.: Наука, 2003. – 328 с.

5 Чертов, А. Г. Задачник по физике / А. Г. Чертов, А. А. Воробьев. – М.: Высш. шк., 1981. – 430 с.

6 Сена, Л. А. Единицы физических величин и их размерность / Л. А. Сена. – М.: Наука, 1988. – 432 с.

Приложение А

(справочное)

Таблица А.1 – Основные физические постоянные (округленные значения)

Таблица А.2 – Некоторые астрономические величины

Таблица А.3 – Плотность твердых тел

Таблица А.4 – Плотность жидкостей

Таблица А.5 – Плотность газов (при нормальных условиях)

Таблица А.6 – Эффективный диаметр молекулы

Таблица А.7 – Удельная теплота парообразования воды

Таблица А.8 – Удельная теплота плавления некоторых твердых тел

Таблица А.9 – Удельная теплоемкость некоторых жидкостей (при 20 ºС)

Таблица А.10 – Относительные атомные массы (округленные значения) А_r
и порядковые номера Z некоторых элементов

Таблица А.11 – Массы покоя некоторых частиц

Таблица А.12 – Критические параметры и поправки Ван-дер-Ваальса

ФИЗИКА

Методические рекомендации к практическим занятиям

для студентов всех специальностей и направлений подготовки очной и заочной форм обучения

МЕХАНИКА. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ

ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Могилев 2018

УДК 535

ББК 22.33

   Ф 55

Рекомендовано к изданию

учебно-м

1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте