Тема: Подбор сечения бруса круглого и кольцевого сечения

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 12Следующая ⇒

При деформации кручения из условия прочности и жесткости

Цель работы: научиться определять внутренние силовые факторы при деформации кручения, уметь строить эпюры крутящих моментов. Уметь выполнять проектировочные расчеты круглого бруса для статически определимых систем.

Краткие теоретические сведения

Кручение – такой вид деформации, при котором в любом сечении возникает только крутящий момент.

Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме моментов, приложенных к брусу по одну сторону от сечения.

Крутящий момент положительный, если при взгляде со стороны сечения момент внешней пары направлен против часовой стрелки и наоборот.

Условие прочности при кручении:

,

где   τ_кр – расчетное напряжение в сечении;

      М_кр – крутящий момент в сечении, берется с эпюры крутящих моментов;

W _ρ – полярный момент сопротивления;

[ τ ]_кр – допускаемое напряжение кручения.

Касательные напряжения в сечении не должны превышать допускаемое.

Условие жесткости при кручении:

,

где φ₀ – относительный угол закручивания, φ₀ = φ/ l;

     G – модуль упругости при сдвиге;

      I_ρ – полярный момент инерции при кручении;

        [ φ ₀ ] – допускаемый относительный угол закручивания.

Исходя из приведенных условий прочности и жесткости можно выполнить три вида расчетов: проверочный, проектный и определить допускаемую нагрузку.

Моменты сопротивления для сечений:

1. Сплошного круглого сечения диаметром, d

W_{ρ =} π d³ /16 ≈ 0.2 d³

2. Кольцевого сечения с наружным диаметром D, внутренним – d:

W_ρ = π (D ⁴ – d ⁴) /16 D ≈ 0.2 (D ⁴ – d ⁴) / D

Пример решения задачи

Пример. На распределительном валу (рис.4) установлены четыре шкива, на вал через шкив 1 подается мощность 12 кВт, которая через шкивы 2, 3, и 4 передается потребителю; мощность распределяется следующим образом: Р₂ = 8 кВт, Р₃ = 3 кВт, Р₄ = 1 кВт, вал вращается с постоянной скоростью ω = 25 рад/с. Построить эпюру крутящих моментов. Определить диаметр вала, если допускаемое напряжение при кручении [ τ ]_кр = 30 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [φ₀] = 0,02 рад/м. Определить общий угол закручивания, если G = 0,8·10⁵ МПа, длины участков l₁ = 03 м, l₂ = 0,5 м, l₃ = 0.4 м.

Решение

1. Определяем моменты пар сил на шкивах.

Вращающий момент определяем из формулы мощности при вращательном движении

Момент на шкиве 1 движущий, моменты на шкивах 2, 3, 4 – моменты сопротивления механизмов, поэтому имеют противоположное направление. При равновесии момент на шкиве 1 равен сумме моментов на шкивах 2, 3 и 4.

m₁ = m₂ + m₃ + m₄;         m₁ = 320 + 120 + 40 = 480 Н·м

2. Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях бруса с помощью метода сечений.

Сечение I (рис.5 а):

m₄ – M_k1 = 0; M_k1 = m₄; M_k1 = 40 Н·м - крутящий момент отрицательный.

Сечение II (рис. 5 б):

m₄ + m₃ – M_k2 = 0; M_k2 = m₄ + m₃; M_k2 = 40 + 120 = 160 Н·м - крутящий момент отрицательный

Сечение III (рис. 5 в):

m₄ + m₃ – m₁ + M_k3 = 0; M_k3 = - m₄ - m₃ + m₁; M_k3 = - 40 - 120 + 480 = 320 Н·м - крутящий момент положительный.

Рис.4

Рис.5

3. Строим эпюру крутящих моментов. Скачек на эпюре всегда численно равен приложенному вращающему моменту.

Выбираем масштаб и откладываем значения моментов, штрихуем эпюру, записываем значения моментов. Эпюра строится под схемой вала. Максимальный крутящий момент на участке III M_k3 = 320 Н·м (рис.4).

4. Определяем размер поперечного сечения вала из условия прочности.

Условие прочности:

.

Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении:

.

Значения подставляем в ньютонах и мм.

Определяем диаметр вала:

; ;

5. Определяем размер поперечного сечения из условия на жесткость.

Условие жесткости при кручении:

.

Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:

Определяем диаметр вала:

;

6. Выбор потребного диаметра из расчета на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлять так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение d_вала = 40 мм.

7. Определяем полный угол закручивания.

Определяем углы закручивания каждого участка:

.

Участок I.

.

Участок II.

Участок III.

Полный угол закручивания определяется как алгебраическая сумма углов закручивания отдельных его участков:

.

.

Задание для выполнения работы

 Для одной из схем (рис. 6, табл. 2) построить эпюру крутящих моментов. Определить диаметр вала на каждом участке, если допустимое напряжение при кручении [ τ ]_кр = 50 МПа, относительный угол закручивания [φ₀] = 0,02 рад/м. Определить полный угол закручивания, если G = 0,8·10⁵ МПа.

  Указания: мощность на зубчатых колесах принять P₂ = 0,5P₁, Р₃=0,3Р₁и P₄==0,2P₁. Полученное рас­четное значение диаметра (в мм) округлить до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0, 5.

Порядок выполнения работы

1. Внимательно рассмотрите в примере порядок решения задачи.

2. Решите задачу по вариантам, взятым у преподавателя.

2.1. Начертите схему.

2.2. Определите значения вращающих моментов.

2.3. Определите значения крутящих моментов и постройте эпюру.

2.4. Определите диаметры вала на каждом участке, исходя из условий прочности и жесткости.

2.5. Определите полный угол закручивания вала.

    3. Выполните тестовые задания (вариант дает преподаватель) по теме 2.5 (кручение 1 и 2) [2].

Оформление работы

1. Наименование и цель работы.

2. Решение задач с графическим оформлением.

3. При выполнении тестовых заданий, если выбор правильного ответа требует решения, то его нужно показывать.

Рекомендуемая литература

1. Олиферская В.П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий. – М.: ФОРУМ, 2013.

2. Олиферская В.П. Техническая механика: Сборник тестовых заданий. – М.: ФОРУМ, 2011

Рис.6

Таблица 2

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №7

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров