Криволинейный интеграл I рода.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 15Следующая ⇒

Пусть АВ – дуга кусочно-гладкой пространственной кривой, в каждой точке которой определена непрерывная функция f(x,y,z). Разбивая дугу на части ∆ l _i и выбирая в каждой части произвольную точку M_i (x_i, y_i, z_i), вычислим значение f(M _i). Умножим это значение на длину элементарной дуги ∆l_i. Сложим все произведения, и найдем предел этой суммы при условии, что наибольшая из элементарных дуг max ∆ l_i →0, а их число n →∞.

           lim f (x, y, z) dl                     (5.1)

                                                max ∆ l_i →0                                              

При непрерывности функции   f (x, y, z) на дуге АВ этот предел существует и не зависит от способа разбиения дуги на части. Этот предел называется криволинейным интегралом I рода. Физическая интерпретация криволинейного интеграла первого рода (5.1) - масса кривой АВ. Вычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислению определенного интеграла.

 Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями: x = X (t), y = Y (t), z = Z (t),   где  t_А≤ t ≤ t_B,   то

f (x, y, z) dl =  ·   dt.

Если кривая АВ задана на плоскости уравнением   y = f (x)  при   a ≤ x ≤ b, то

f (x, y) dl =  ·   dx.

5.1. Задачи на механические приложения криволинейного интеграла.                                   

С помощью криволинейного интеграла I рода можно вычислить:

а) массу кривой

m = , где     - плотность

б) статические моменты относительно координатных осей для плоской дуги

     M_x =              M_y =

в) статические моменты относительно координатных плоскостей для пространственной дуги

M_xoy =     M_yoz =

M_xoz =

г) моменты инерции относительно координатных осей плоской дуги

J_x = J_y =

д) координаты центра тяжести

x_c =              y_c =           z_c =

Пример: вычислить интеграл

² ydl,  где  ﮞ АВ  –  часть окружности + = ,  лежащая в первой четверти.

Тогда y = . Найдем дифференциал дуги   dl = dx

y ′=- ;    = ;     1 +  1 +   =

Тогда   dl =   dx

² ydl = dx = R dx =

Пример: вычислить dl,  где   АВ - дуга кубической параболы y=x³ от точки (1;1) до точки (2;8)

Найдем дифференциал дуги   dl =   dx

y ′=3 x ²; 9 x ⁴; 9 x ⁴;

Тогда   dl =   dx

d l=   dx =   dx- =J₁-J₂

J₁₌     dt

= · = ·( - )

J ₂ =       =

=

J ₁ - J ₂ = ·( - )-

Пример: найти массу одной арки циклоиды, считая плотность постоянной, равной единице.

x = a (t - ); y = a (1- );  0≤ t ≤2 π

Найдем дифференциал дуги

dl=                        =a(1- );                =a ;

+ =a²(1+2 + + = a²(1+2 +1)=

a²(2+2 )=2 a²(1+ )=4 a²

Тогда dl=2a dt

m= =-4a =-4a(-1-1)=8a

Пример: найти массу дуги однородной пространственной кривой

           (a >0)

от точки   О(0,0,0) до точки   А(x ₀, y ₀, z ₀).

Если в задаче сказано, что дуга однородная, принимаем плотность f(x,y,z)=const= 1.

Найдем массу дуги по формуле   m =  при dl =

    dl =  = dx =

m = = ·

= = =

Пример:  найти статический момент относительно плоскости XOY части

однородной конической винтовой линии.

x = t ∙ cos t, y = t ∙ sin t, z = t при 0≤ t ≤ t 0

M_xoy=

dl=

  ₌ (tcos(t))′=t′cos(t)+t(cos(t))′=cos(t)-tsin(t)

  =(tsin(t))′=t′sin(t)+t(sin(t))′=sin(t)+tcos(t)

dl=   dt=

= =

= dt= dt

f(x,y,z)=const=1                                                                                                                                          

M_xoy = = dt =   =

= = dx = = ( )= ( - )

Пример:  найти центр тяжести однородной дуги.

(-∞< t ≤ 0)  

Примем плотность f(x, y, z)= const = 1

m= dl

dl=

ẋ = - = (cost-sint)

ẏ = + = (sint+cost)

ż=

dl= dt=

= dt

m= = = ( - )=

M_yoz=

M_yoz= *costdt= *costdt= ( (sint+2cost) =

= * *2=0.4

При вычислении интеграла используем формулу “интегрирования по частям”

*costdt dt =

= *cost-4 *costdt

5 *costdt= *cost

*costdt=

M_zox=

M_zox= *sintdt= ( (cost-2sint) =

= *( - )*1=- 0.2

При вычислении интеграла используем формулу “интегрирования по частям”

*sintdt =- *cost 2 + =

=- *cost+2 *sint- 4 *costdt

5 =- *sint+2 *cost

=-

M_xoy=

M_xoy= dt= = = * =0.5

Координаты центра тяжести:

x _{ц . т .} = = =0.4

y _ц.т. = = =-0.2

z _ц.т. = = =0.5

6. Поверхностный интеграл первого рода

Пусть S – поверхность в трёхмерном пространстве Оxyz, а F(x,y,z) непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS₁, ΔS₂,...., ΔS_i,..., ΔS_n, не имеющих общих внутренних точек (рис.6.1). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами S_i(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков через λ. На каждом "элементарном" участке ΔS_i произвольным образом выберем по точке M_i(x_i,y_i,z_i) (i = 1,...,n) и составим сумму

которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S.

Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔS_i и от выбора точек M_i ΔS_i(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции F (x,y,z) по поверхности S и обозначается

Если поверхность S задана уравнением z= f(x,y), где функция f(x,y) и её частные производные f'x(x,y) и f'y(x,y) непрерывны в замкнутой области координатной плоскости Oху, а функция F(x,y,z) непрерывна на S, то интеграл

существует.

Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам. Пусть выполнены все условия, приведенные выше, тогда, обозначив проекцию ΔS_i (и площадь проекции) на плоскость Oxy через Δ D _i, по теореме о среднем будем иметь:

где (x_i, y_i) Δ D _i, а, следовательно,

при данном выборе точек M_i. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции

Переходя к пределу, получаем:

  Свойства поверхностного интеграла первого рода

1. Если положить F(x,y,z)=1, то интеграл будет численно равен площади поверхности S.

2.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

3.Интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых.

4.Если область S состоит из 2-х частей, описываемых разными уравнениями, то

5.Если F (x, y, z)≥ φ (x, y, z) то

6.

6.2.  Задачи на механические приложения поверхностного интеграла      1-ого рода.

1.Если F (x, y, z) - плотность вещества, то масса поверхности S

2.Если F(x,y,z)=1, то интеграл численно равен площади поверхности S.

3.Статистические моменты относительно координатных плоскостей

4.Моменты инерции относительно координатных осей

5.Моменты инерции относительно координатных плоскостей

6.Координаты центра масс

Пример: вычислить поверхностный интеграл

где S - поверхность конуса

при   1≤ z ≤2 (рис.6.2)

Очевидно, что поверхность S проектируется на плоскость Oxy в кольцо D: 1 ≤ x ² + y ² ≤2

    В области D функция

и её производные                                                                          

и

непрерывные функции.

Следовательно,

Пример: вычислить поверхностный интеграл I рода.

где S – часть плоскости x + y + z =1, лежащая в I октанте.

z=1-x-y,  z_x’=-1; z_y’=-1

рис.6.3.

Пример: найти массу поверхности полусферы

если в каждой её точке поверхностная плоскость вещества пропорциональна квадрату расстояния этой точки от оси Oz.

Имеем

и, следовательно,

x ² + y ² ≤ 4 – переходим в полярную систему координат

Масса поверхности полусферы равна .

Пример: найти моменты инерции однородной треугольной пластины x + y + z =1 при (x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0) относительно координатных плоскостей.

Моменты инерции относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам:

где µ - плотность пластины (у однородной пластины µ=1).

           рис.6.4.

Моменты инерции равны между собой, т.к. пластина расположена симметрично относительно осей координат в первом октанте.

Таблица производных

(u + v - w)′= u ′+ v ′+ w ′             c ′=0 x ′=1

(u·v)′= u′v + v′u

(c·u)′= c·u′

′=

(uⁿ)′_x= n·u^n-1·u′_x                   (xⁿ)′= n·x^n-1

(  )′=                                 ( )′=         

  ′= -                                      ′= -

(a^u)′_x= a^u·lna·u′                 (a^x)′= a^x·lna

(e^u)′= e^u·u′                          (e^x)′= e^x

(lnu)′=                                      (lnx)′=

(log_au)′=                                (log_ax)′=

(lgu)′=                               (lgx)′=

( )′_x= ·u′                   ( )′=

( ′_x=- ·u′                  ( )′= -

(tgu)′=                                    (tgx)′=

(ctgu)′= -                                 (ctgx)′= -

(arccosu)′_x= -                         (arccos x)′= -   

(arcsinu)′_x=                           (arcsin x)′=   

(arctgu)′_x=                               (arctgx)′=  

(arcctgu)′_x=                          (arcctgx)′= -

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
1		Подстановка φ(x)=t
2		Интегрирование по частям =f(x)φ(x)- Метод интегрирования по частям применяется, например, к интегралам вида , где p(x) – многочлен, eax;cos ax;sin ax;lnx;arctg x;arcsin x и т.п.,а также к интегралам от произведений показательной функции на косинус или синус.
3	(x)dx	Сводится к интегрированию произведения (x)φ(x) с помощью формулы кратного интегрирования по частям: (x)dx= =f(x) -f′(x) + +f′′(x) (x)-… …+(-1)n-1f(n-1)(x)φ(x)+ +(-1)n
4	pn(x)dx	Применяя формулу кратного интегрирования по частям, получим pn(x)dx= +C
5	P3-4q<0	Подстановка x+ =t

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
6	In=	Применение рекуррентной формулы In= + In-1
7	dx, где -правильная рациональная дробь, Q(x)=(x-x1)′(x-x2 ... …( +px+q …	Подынтегральную дробь представляют в виде суммы простейших дробей = + +…+ + + + +… +…+ + +…+ +…
8	,…, )dx, где R-рациональная функция своих аргументов	Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой x= , где k – общий знаменатель дробей ,…,
9	dx	Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой =
10	dx	Подстановкой x + =t интеграл приводится к сумме двух интегралов   dx=M1 + +N1 Первый интеграл сводится к интегралу от степенной функции, а второй интеграл – табличный.

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
11	)dx, где R –рациональная функция от x и	Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановками Эйлера = t±x    (a>0), =tx±     (c>0)  =t(x- ) (4ac- ), где  - корень трехчлена   Для вычисления указанного интеграла применяются также тригонометрические подстановки:   x+  =               (a<0, 4ac-b2<0)                                                 x+  =       (a>0, 4ac-b2<0)                                 x+  =        (a>0, 4ac-b2>0)
12	dx где - многочлен степени n	Записываем равенство =Qn-1(x) + +k , где Qn-1(x)- многочлен степени n-1 Дифференцируя обе части этого равенства и умножая на , получим тождество )= Qn-1(x)( + +  Qn-1(x)(2ax+b)+k Которое дает систему n+1 линейных уравненений для определения коэффициентов многочлена Qn-1(x) и множителя k. Интеграл же берется методом, указанным в п.10 (M=0;N=1)
№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
13		Этот интеграл приводится подстановкой =  к интегралу рассмотренному выше.
14	(a+b )pdx, Где m,n,p-рациональные числа (интеграл от биноминального дифференциала)	Интеграл от биноминального дифферециала выражается через элементарные функции только при выполнении одного из следующих условий: 1) если p-целое число 2) если  – целое число 3) если  + p – целое число 1-й случай а)если p-целое положительное число,то нужно раскрыть скобки (a+b )p по биному Ньютона и вычслить интегралы от степеней; б)если p- целое отрицательное число, то подстановка x = , где k – общий знаменатель дробей m и n, приводит к интегралу от рациональной дроби; 2-й случай если  - целое число, то применяется подстановка a+b =tk, где k – знаменатель дроби p; 3-й случай если  - целое число, то применяется подстановка a+b = tk, где k – знаменатель дроби p;
15		Универсальная подстановка tg  =t Если R(- = - R(, то подстановка =t. Если R(,то подстановка =t. Если R(,то подстановка =t.

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
16	R(sh x, ch x)dx	Применяется подстановка th  =t. При этом sh x= ;ch x= ;dx=
17		Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул: = = = = =
18	, где m и n – целые числа	Если m-нечетное положительное, то подстановка =t. Если n-нечетное положительное, то подстановка =t. Если m+n-четное отрицательное, то подстановка tgx=t. Если m и n –четные неотрицательные, то применяют формулы: = ; =
19	, (0<x< ) p и q- рациональные числа	Подстановкой =t приводится к интегралу от биноминального дифференциала =tp(1-t2 dt
20	)dx	Постановка  преобразуется в интеграл от рациональной функции.

Варианты заданий на несобственные интегралы и ФМП

Вариант № 1

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности