Несобственные интегралы 1-ого  рода.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 15Следующая ⇒

Содержание

Введение…………………………………………………………………

1. Несобственные интегралы…………………………………………. 

 1.1. Несобственные интегралы 1-ого рода…………………………

1.2. Признак сходимости для несобственных интегралов                1-ого рода………………………………………………………..

1.3. Несобственные интегралы от неограниченных на отрезке     

      [a,b] функций…………………………………………………….      

 1.4. Признак сходимости для несобственных интегралов

      2-ого рода…………………………………………………………

2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных…. 

2.1  Дифференцирование сложных функций………………………

2.2  Дифференцирование функций, заданных неявно…………….

2.3  Производная по направлению………………………………….

2.4  Уравнения касательных плоскостей и нормалей………….......

2.5  Экстремум функций нескольких переменных…………………

3. Двойные   интегралы ………………………………………………..

3.1.Свойства двойных интегралов………………………………….

3.2.Вычисления двойных интегралов в декартовой системе

                 координат…………………………………………………………

3.3.Замена переменной в двойном интеграле. Полярная

                 система координат……………………………………………….

3.4.Геометрические и физические приложения двойного

                 интеграла………………………………………………………….

4. Тройные интегралы …………………………………………………

4.1.Цилиндрическая и сферическая системы координат………….

4.2.Геометрические и физические приложения тройных

интегралов………………………………………………………..

5. Криволинейные интегралы 1-ого рода…………………………….

5.1.Задачи на механические приложения криволинейных

                 интегралов……………………………………………………….

6. Поверхностные интегралы 1-ого рода…………………………….

6.1.Задачи на механические приложения поверхностных

                интегралов………………………………………………………..

Приложения……………………………………………………………..

                              Введение.

Данное пособие  содержит разбор и подробное решение типовых задач  индивидуальных домашних заданий по математическому анализу, предлагаемых студентам для самостоятельного решения во втором семестре. В данном пособии к каждому из заданий приводятся конспективно изложенные основные сведения из теории, справочные данные, сведения о системах координат на плоскости и в пространстве, а также необходимые  формулы, относящиеся к соответствующему разделу. Приведен подробный разбор типовых задач.                                                                                  Представленное пособие позволит студентам экономить время на решение индивидуальных заданий, а также предоставляет широкие возможности для активного самостоятельного изучения практической части курса математического анализа.                                                          

В данном пособие подробно рассматриваются типовые задачи индивидуальных домашних заданий по следующим разделам курса «Математического анализа».  

1. Несобственные интегралы (вычисление или установление расходимости несобственного интеграла).

2.  Дифференцирование функций многих переменных.

3. Двойной интеграл и его приложения.

4. Тройные интегралы и приложения тройных интегралов.

5. Криволинейные интегралы 1-ого рода.

6. Поверхностные интегралы 1-ого рода.

В приложении к данному пособию приведены: таблица основных производных и таблица основных методов интегрирования. В  пособии приведены варианты индивидуальных домашних заданий и вопросы к экзамену по вышеуказанным разделам курса «Математический анализ».

Несобственные интегралы.

Из определения необходимых и достаточных условий существования определенного интеграла следует, что интервал интегрирования [ a; b ] должен быть конечным, а интегрируемая функция f (x) – непрерывна и ограничена на этом интервале.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то говорят о возможных обобщениях понятия определенный интеграл. Вводится понятие несобственный интеграл.

Несобственные интегралы делятся на несобственные интегралы 1-ого рода и несобственные интегралы 2-ого рода.

Производная по направлению.

Если функция f (x, y, z) дифференцируема в точке (x, y, z), то для неёимеет смысл производная по направлению любого единичного вектора   

    l (cos α, cos β, cos γ) и

                                                                                                    , OZ)

Т.к. вектор l - единичный, то cos ² α+ cos ² β+cos²γ=1                                    (2.7)

Пример: найти производную функции u = x ²-3 yz +5 в точке М(1,2,-1) в направлении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями.

Т.к. α=β=γ, то cos α=cos β= cos γ, тогда в соответствии с формулой (2.7)

cos² α=cos² β= cos² γ=1/3, т.е. cos α=cos β= cos γ= =

     2x |_M

Пример: найти производную функции z=2y²-xy-2x² в точке P (2;1) в направлении, составляющем с осью O X угол 30°.

Тогда:

Двойные интегралы.

Индивидуальные домашние задания второго семестра кроме задач на несобственные интегралы и дифференцирование ФМП содержат задачи на интегральное исчисление функций двух и трех независимых переменных. Задания по теме «Двойные интегралы» включают в себя следующие задачи: а) начертить область, на которую распространен двойной интеграл, поменять порядок интегрирования, записать интеграл в полярной системе координат;

б) используя представление о декартовой и полярной системах координат на плоскости, решить задачу на приложения двойного интеграла.                      Задача об объеме цилиндрического тела приводит нас к понятию двойного интеграла. Если функция f(x,y) = f(P) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости XOY, а  - площади элементарных подобластей, полученных разбиением области D, диаметры которых d , то предел интегральных сумм (если он существует) называется двойным интегралом от функции f (x,y) по области D:

3.1 Свойства двойного интеграла.

а) геометрический смысл двойного интеграла – объем цилиндрического тела

б) если f(x,y) = 1, то численно двойной интеграл равен площади области D

в) константу можно выносить за знак интеграла

г) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

д) если D= , где  - не пересекаются, то

е)

Тройные интегралы

Задача о массе пространственного тела переменной плотности f(x,y,z) приводит к понятию тройного интеграла. Под областью “V”,на которую распространен тройной интеграл, понимается ограниченная замкнутая пространственная область, ограниченная снизу и сверху поверхностями , а с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ. Переменные x и y изменяются в плоской области , которая является проекцией на плоскость xoy пространственной области “V”. Функция f(x,y,z), стоящая под интегралом должна быть непрерывной и ограниченной в области “V”.

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствами двойного интеграла.

Таблица производных

(u + v - w)′= u ′+ v ′+ w ′             c ′=0 x ′=1

(u·v)′= u′v + v′u

(c·u)′= c·u′

′=

(uⁿ)′_x= n·u^n-1·u′_x                   (xⁿ)′= n·x^n-1

(  )′=                                 ( )′=         

  ′= -                                      ′= -

(a^u)′_x= a^u·lna·u′                 (a^x)′= a^x·lna

(e^u)′= e^u·u′                          (e^x)′= e^x

(lnu)′=                                      (lnx)′=

(log_au)′=                                (log_ax)′=

(lgu)′=                               (lgx)′=

( )′_x= ·u′                   ( )′=

( ′_x=- ·u′                  ( )′= -

(tgu)′=                                    (tgx)′=

(ctgu)′= -                                 (ctgx)′= -

(arccosu)′_x= -                         (arccos x)′= -   

(arcsinu)′_x=                           (arcsin x)′=   

(arctgu)′_x=                               (arctgx)′=  

(arcctgu)′_x=                          (arcctgx)′= -

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
1		Подстановка φ(x)=t
2		Интегрирование по частям =f(x)φ(x)- Метод интегрирования по частям применяется, например, к интегралам вида , где p(x) – многочлен, eax;cos ax;sin ax;lnx;arctg x;arcsin x и т.п.,а также к интегралам от произведений показательной функции на косинус или синус.
3	(x)dx	Сводится к интегрированию произведения (x)φ(x) с помощью формулы кратного интегрирования по частям: (x)dx= =f(x) -f′(x) + +f′′(x) (x)-… …+(-1)n-1f(n-1)(x)φ(x)+ +(-1)n
4	pn(x)dx	Применяя формулу кратного интегрирования по частям, получим pn(x)dx= +C
5	P3-4q<0	Подстановка x+ =t

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
6	In=	Применение рекуррентной формулы In= + In-1
7	dx, где -правильная рациональная дробь, Q(x)=(x-x1)′(x-x2 ... …( +px+q …	Подынтегральную дробь представляют в виде суммы простейших дробей = + +…+ + + + +… +…+ + +…+ +…
8	,…, )dx, где R-рациональная функция своих аргументов	Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой x= , где k – общий знаменатель дробей ,…,
9	dx	Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой =
10	dx	Подстановкой x + =t интеграл приводится к сумме двух интегралов   dx=M1 + +N1 Первый интеграл сводится к интегралу от степенной функции, а второй интеграл – табличный.

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
11	)dx, где R –рациональная функция от x и	Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановками Эйлера = t±x    (a>0), =tx±     (c>0)  =t(x- ) (4ac- ), где  - корень трехчлена   Для вычисления указанного интеграла применяются также тригонометрические подстановки:   x+  =               (a<0, 4ac-b2<0)                                                 x+  =       (a>0, 4ac-b2<0)                                 x+  =        (a>0, 4ac-b2>0)
12	dx где - многочлен степени n	Записываем равенство =Qn-1(x) + +k , где Qn-1(x)- многочлен степени n-1 Дифференцируя обе части этого равенства и умножая на , получим тождество )= Qn-1(x)( + +  Qn-1(x)(2ax+b)+k Которое дает систему n+1 линейных уравненений для определения коэффициентов многочлена Qn-1(x) и множителя k. Интеграл же берется методом, указанным в п.10 (M=0;N=1)
№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
13		Этот интеграл приводится подстановкой =  к интегралу рассмотренному выше.
14	(a+b )pdx, Где m,n,p-рациональные числа (интеграл от биноминального дифференциала)	Интеграл от биноминального дифферециала выражается через элементарные функции только при выполнении одного из следующих условий: 1) если p-целое число 2) если  – целое число 3) если  + p – целое число 1-й случай а)если p-целое положительное число,то нужно раскрыть скобки (a+b )p по биному Ньютона и вычслить интегралы от степеней; б)если p- целое отрицательное число, то подстановка x = , где k – общий знаменатель дробей m и n, приводит к интегралу от рациональной дроби; 2-й случай если  - целое число, то применяется подстановка a+b =tk, где k – знаменатель дроби p; 3-й случай если  - целое число, то применяется подстановка a+b = tk, где k – знаменатель дроби p;
15		Универсальная подстановка tg  =t Если R(- = - R(, то подстановка =t. Если R(,то подстановка =t. Если R(,то подстановка =t.

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
16	R(sh x, ch x)dx	Применяется подстановка th  =t. При этом sh x= ;ch x= ;dx=
17		Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул: = = = = =
18	, где m и n – целые числа	Если m-нечетное положительное, то подстановка =t. Если n-нечетное положительное, то подстановка =t. Если m+n-четное отрицательное, то подстановка tgx=t. Если m и n –четные неотрицательные, то применяют формулы: = ; =
19	, (0<x< ) p и q- рациональные числа	Подстановкой =t приводится к интегралу от биноминального дифференциала =tp(1-t2 dt
20	)dx	Постановка  преобразуется в интеграл от рациональной функции.

Варианты заданий на несобственные интегралы и ФМП

Вариант № 1

Вариант № 2

Найти производную функции

Z= - xy -2  в точке P(1;2) в направлении, составляющем с осью

ОХ угол в

Вариант № 3

Вариант № 4

Найти производную функции

z = -2 + x +1

Вариант № 5

Вариант № 6

Вариант № 7

Вариант № 8

Вариант № 9

Вариант № 10

Вариант № 11

Вариант № 12

Вариант № 13

Вариант № 14

Варианты заданий на двойные и тройные интегралы

Вариант № 1

Вариант № 2

Вариант № 3

Вариант № 4

Вариант № 5

Вариант № 6

Вариант № 7

Вариант № 8

Вариант № 9

Вариант № 10

Вариант № 11

Вариант № 12

Вариант № 13

Вариант № 14

Вариант № 15

Вариант № 16

Вариант № 17

Вариант № 18

Вариант № 19

Вариант № 20

Варианты индивидуальных заданий 1-ого семестра.

Вариант №1

Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию  на непрерывность в точке

3) Найти производные:

а)

б)

в)

г) Написать уравнение нормали к кривой  в точке

4) Исследовать функцию  и построить ее график

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6. Найти площадь между кривой   , осью OX и ординатой

Вариант №2

Найти пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке

Вычислить производные

а)

б)

в)

г) Написать уравнение касательной к данной кривой в точке если

4. Исследовать функцию  и построить ее график.

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6.Вычислить площадь фигуры, ограниченную параболой и осью абсцисс.

Вариант №3

Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность  в точке

Вычислить производные

а)

б)

в)

г) Написать уравнение нормали к кривой ; (кривая задана параметрически), в точке соответствующей параметру

Исследовать функцию

   и построить ее график

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6) Найти площадь между кривой  , осью OX и ординатой .

Вариант №4

Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию  в точке на непрерывность

Вычислить производные

а) y = x (lnln 2 x - cosln )

б)

в)

г) Написать уравнение касательной к кривой  в точке

4. Исследовать функцию  и построить ее график

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6.Вычислить площадь, ограниченную параболой  и прямой .

Вариант №5

1. Построить график функции  в полярной системе координат.

Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию  в точке на непрерывность

Вычислить производные

а)

б)

в)

г) Составить уравнение нормали к кривой, заданной параметрически:

В точке, соответствующей параметру

4. Исследовать функцию  и построить ее график

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной:

Вариант № 6

Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке

3. Найти производные:

а)

б)

в)

г) Составить уравнение нормали к кривой в точке , если

4. Исследовать функцию   и построить ее график

5. Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченную крив , прямой  и осью oy.

Вариант №7

Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию  в точке  на непрерывность.

Вычислить производные

а)

б)

в)

г) Написать уравнение нормали в точке  к кривой

4.Исследовать функцию  и построить ее график.

5. Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры ограниченной кривой  осью ox и прямой .

Вариант №8

1. Построить график функции в полярной системе координат

Найти пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке , если

Найти производные

а)

б)

в)

г) Написать уравнение касательной к кривой  в точке  

4. Исследовать функцию  и построить ее график.

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченную параболой