Пространства со скалярным произведением

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

Пусть F — одно из полей ℝ и ℂ, а V — векторное пространство над F. Отображение

V × V → F, результат применения которого к паре векторов x, y ∈ V - xy (или (x, y), или 〈x | y〉) - скалярным произведением в V, если выполнены следующие аксиомы:

1) ∀x, y ∈ V xy = ;

2) ∀x, y ∈ V ∀α ∈ F (αx)y = α(xy);

3) ∀x, y, z ∈ V (x + y)z = xz + yz (скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов);

4) ∀x ∈ V xx ≥ 0, причем xx = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.

Евклидовое пространство - пространство со скалярным произведением над ℝ. Унитарное пространство - пространство со скалярным произведением над ℂ.

Скалярный квадрат вектора х - скалярное произведение вектора на себя - .

Длина вектора x - это неотрицательное действительное число |x|:= .

Если x ≠ 0, то длина вектора - орта вектора х - равна 1.

Угол между ненулевыми векторами x и y евклидова пространства - наименьший угол ϕ такой, что cos .

Угол между нулевым вектором и любым другим вектором не определен.

Расстояние между векторами x и y в пространстве со скалярным произведением - длина вектора x − y.

------------Ортогональность------------

Вектора x и y из пространства со скалярным произведением называются ортогональными, если xy = 0 - x ⊥ y.

Набор векторов называется ортогональным, если любые два различных вектора из этого набора ортогональны.

Ортогональный набор векторов называется ортонормированным, если длины всех векторов из этого набора равны 1.

Теорема Пифагора: Если a и b — ортогональные вектора в пространстве со скалярным произведением, то .

Ортогональный [ортонормированный] базис - ортогональный [ортонормированный] набор векторов, который является базисом.

Пусть V — пространство со скалярным произведением, а P — ортонормированный базис в V. Тогда для любых x, y ∈ V.

Пусть S — подпространство в V.

Ортогональное дополнение подпространства S - множество всех векторов, ортогональных к произвольному вектору из S - .

Пусть S — подпространство пространства со скалярным произведением V, а  — ортогональное дополнение S. Тогда: 1)  — подпространство пространства V; 2) если a1, a2,..., ak — базис S, то x ∈  тогда и только тогда, когда xa1 = xa2 = · · · = xak = 0.

Если V — пространство со скалярным произведением, а S — подпространство в V, то V = S ⊕  - ортогональным разложением пространства V относительно подпространства S.

Алгоритм нахождения базиса ортогонального дополнения:

● пусть a1, a2,..., ak — базис подпространства S евклидова пространства V. Составим однородную систему линейных уравнений

                     a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = 0

                    a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = 0

                       …

                        ak1x1 + ak2x2 +... + aknxn = 0

в которой (ai1,..., aij) — это координаты вектора ai в некотором ортонормированном базисе пространства V. Фундаментальная система решений системы будет базисом подпространства .

Свойства ортогонального дополнения: Пусть V — пространство со скалярным произведением, а S, S1 и S2 — его подпространства. Тогда: 1)  = {0}, а  = V; 2) = S; 3) если S1 ⊆ S2, то  ⊆ ; 4)  =  ∩ , а  =  + ; 5) если V = S1 ⊕ S2, то V =  ⊕ .

Пусть V — пространство со скалярным произведением, S — его подпространство и x ∈ V. В силу теоремы об ортогональном разложении существуют, и притом единственные, вектора y и z такие, что y ∈ S, z ∈  и x = y + z.

Вектор y называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство S - xS. Вектор z называется ортогональной составляющей x относительно S - .

Расстояние от x до S - длина ортогональной составляющей вектора x относительно S - d(x, S).

Предположим теперь, что V — евклидово пространство.

Угол между x и S - угол между векторами x и y, если S ≠ {0} и y ≠ 0 - .

Если S ≠ {0} и y = 0, то угол между x и S по определению считается равным .

Если S = {0}, то угол между x и S не определен.

Метод наименьших квадратов

Псевдорешение системы линейных уравнений Ax = b — это вектор x0, минимизирующий расстояние между векторами Ax и b.

Если псевдорешение неединственно, то обычно интересуются псевдорешением наименьшей длины - нормальное псевдорешение.

Метод наименьших квадратов - простое соображение, которое позволяет находить псевдорешения без вычисления ортогональной проекции.

Пусть A — k × n матрица над ℝ, а S — образ линейного отображения x ↦ Ax пространства  в пространство . Для произвольного вектора b ∈  системы линейных уравнений Ax = bS и Ax = b равносильны.

Для любой матрицы A над ℝ ее ранг равен рангу матрицы A.

-----Линейные функционалы-----

Пусть V — векторное пространство над произвольным полем F.

Линейный функционал на V — это линейное отображение : V → F.

Строение линейного функционала:

Ker(Φ) — подпространство размерности dim V − 1, а его ортогональное дополнение

Ker(Φ)  — одномерное подпространство в V.

Фиксируем ненулевой вектор b ∈ Ker(Φ)  и пусть β:= Φ(b).

Положим a:= b и проверим, что Φ(x) = xa для каждого x ∈ V. Для этого представим x в виде x = c + γb для некоторого c ∈ Ker(Φ) и γ ∈ F. Такое представление возможно, так как V = Ker(Φ) ⊕ Ker(Φ) , а одномерное подпространство Ker(Φ)  порождается вектором b. Тогда

Φ(x) = Φ(c + γb) = Φ(c) + Φ(γb) = γΦ(b) = γβ,

поскольку Φ(c) = 0. С другой стороны,

xa = (c + γb) b = c b + γb b = γβ,

поскольку cb = 0.

---Сопряженное отображение---

Пусть : V1 → V2 — линейное отображение (линейный оператор) пространств со скалярным произведением над полем F ∈ { ℝ, ℂ}.

В каждом из пространств V1 и V2 — свое скалярное произведение: будем обозначать произведение векторов x, y ∈ V1 через x y, а произведение векторов p, q ∈ V2 — через p q.

Возьмем произвольный вектор r ∈ V2 и свяжем с ним отображение Φr: V1 → F, определенное правилом Φr(x):= x r. Отображение Φr — линейный функционал на пространстве V1.

Пусть пространство V1 конечномерно. По теореме о строении линейного функционала существует однозначно определяемый вектор a ∈ V1 такой, что x r = x a для каждого x ∈ V1. Сопоставляя вектору r вектор a, получаем отображение из V2 в V1 - сопряженное отображением к  - .

Ключевое тождество для сопряженного отображения:

или же, если вернутся к привычному обозначению

Тождество однозначно определяет сопряженное отображение, т.е. если для отображения : V2 → V1 равенство  Br выполнено при всех x ∈ V1 и r ∈ V2, то .

Пусть : V1 → V2 — линейное отображение пространств со скалярным произведением. Тогда сопряженное отображение : V2 → V1 линейно.

Основные свойства взятия сопряженного отображения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Если линейное отображение : V1 → V2 имеет в ортонормированных базисах пространств V1 и V2 матрицу , то сопряженное ему отображение : V2 → V1 имеет в тех же базисах матрицу .

Преобразование : V → V называется самосопряженным, если = .

Тождество самосопряженных преобразований:

Если  — матрица самосопряженного преобразования A в некотором ортонормированном базисе, то  = . Матрицы над ℂ со свойством  = называются эрмитовыми.

Для матриц над ℝ свойство  =  означает, что  = ; такие матрицы называются симметрическими.

Если линейное преобразование : V → V имеет в некотором ортонормированном базисе пространства V эрмитову матрицу, то это преобразование самосопряженное.

Если : V1 → V2 — линейное отображение пространств со скалярным произведением, то  и  — самосопряженные преобразования.

Преобразование : V → V, сопоставляющее каждому вектору x ∈ V его ортогональную проекцию xS, называется ортогональным проектированием на S (ортопроектором).

Псевдообратное отображение

Теорема Фредгольма: Если : U → V — линейное отображение пространств со скалярным произведением над полем F ∈ { ℝ, ℂ}, то Im  = Ker .

Альтернатива Фредгольма: Пусть A — n × k матрица над полем F ∈ { ℝ, ℂ}. Либо система линейных уравнений Ax = b имеет решение при любой правой части b ∈ , либо сопряженная система A ∗ y = 0 имеет нетривиальное решение y ∈  \ {0}.

Пусть : U → V — линейное отображение пространств со скалярным произведением. Теорема Фредгольма дает ортогональное разложение пространства V:

V = Ker  ⊕ Im .

Применяя ту же теорему к сопряженному отображению : V → U, получим ортогональное разложение пространства U:

U = Ker  ⊕ Im .

Положим U0:= Im , V0:= Im  и обозначим через 0 ограничение отображения  на подпространство U0. Это означает, что вектор 0x определен, только если x ∈ U0, и в этом случае 0x:= x.

0 — взаимно однозначное отображение U0 на V0.

Если A — матрица линейного отображения : U → V в некоторых ортонормированных базисах пространств U и V, то матрица псевдообратного отображения : V → U в тех же базисах называется псевдообратной к матрице A - A .

Для любой системы линейных уравнений Ax = b над полем F ∈ { ℝ, ℂ} формула x = A b возвращает ее нормальное псевдорешение. Теорема Пенроуза: Отображение удовлетворяет следующим тождествам: 1) 2) 3) 4) Обратно, если некоторое линейное отображение  удовлетворяет тождествам 1)–4) c , подставленным вместо , то  = .

Примеры задач

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров