Система координат. Координаты точки

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 7Следующая ⇒

Система координат в пространстве [на плоскости] - совокупность базиса пространства [соответственно базиса плоскости] и точки [принадлежащей этой плоскости] - (О; , , ) или (О; , ).

Начало системы координат - точка, входящая в систему координат.

Прямые, проходящие через точку O параллельно одному из базисных векторов, называются осями координат.

Ось абсцисс - прямая, проходящая через точку O параллельно вектору .

Ось ординат - прямая, проходящая через точку O параллельно вектору .

Ось аппликат - прямая, проходящая через точку O параллельно вектору .

Координатные плоскости - плоскости, проходящие через точку O и две из трех осей координат.

Зафиксируем в пространстве некоторую систему координат (О; , , ).

Радиус-вектор точки М - вектор .

Координаты точки M в системе координат (О; , , ) - координаты ее радиуса-вектора в базисе (, , ) (чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты его начала) - M(a1, a2, a3).

Координаты точки на плоскости определяются аналогично координатам точки в пространстве.

Пусть точки A и B имеют координаты (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3) соответственно. Тогда

 = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3)

|AB| =

Система координат в пространстве (О; , , ) называется прямоугольной декартовой, если базис (, , ) — правый ортонормированный.

Система координат на плоскости (O; , ) называется прямоугольной декартовой, если базис (, ) — ортонормированный.

Предположим, что даны различные точки A и B и число t. Будем говорить, что точка C делит отрезок AB в отношении t, если  = t * .

 - формулы деления отрезка в отношении t.

(, , ) - координаты середины отрезка.

Тема 2: Прямые и плоскости

--------Прямая на плоскости--------

Геометрический объект на плоскости (в пространстве) - произвольное множество точек плоскости (пространства), возможно, пустое.

Пусть π — плоскость, в которой зафиксирована система координат, а ℓ — некоторый геометрический объект в этой плоскости. Уравнение F(x, y) = 0, где F(x, y) — функция двух переменных, называется уравнением ℓ, если точка плоскости π принадлежит ℓ тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют этому уравнению - объект ℓ задается уравнением F(x, y) = 0 или ℓ является геометрическим образом этого уравнения.

Направляющий вектор прямой - любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой.

                      - параметрические уравнения прямой на плоскости.

- каноническое уравнение прямой на плоскости.

Пусть прямая ℓ задана уравнением Ax + By + C = 0. Тогда вектор  = (A,B) называется главным вектором прямой ℓ.

Если система координат является прямоугольной декартовой, то главный вектор прямой является ее нормальным вектором. Другими словами, если прямая задана уравнением Ax + By + C = 0 в прямоугольной декартовой системе координат, то вектор  = (A, B) перпендикулярен этой прямой.

y = kx + b    - уравнение прямой с угловым коэффициентом k.

- уравнение прямой на плоскости по 2 точкам.

Пусть прямая ℓ1 задана уравнением A1x + B1y + C1 = 0, а прямая ℓ2 — уравнением A2x + B2y + C2 = 0. Прямые ℓ1 и ℓ2: 1) пересекаются тогда и только тогда, когда ; 2) параллельны тогда и только тогда, когда ; 3) совпадают тогда и только тогда, когда .

Пусть ℓ — прямая, заданная уравнением Ax + By + C = 0. Вся плоскость делится этой прямой на три непересекающиеся части: саму прямую ℓ и две полуплоскости.

d(M, ℓ) = | | = = =  - расстояние от точки М до прямой ℓ.

Метод Крамера

Если определитель системы не равен 0, то рассматриваемая система имеет только одно решение, причем

-----------------Плоскость-----------------

Направляющий вектор плоскости - любой ненулевой вектор, коллинеарный данной плоскости.

x = x0 + q1u + q2v

y = y0 + r1u + r2v - параметрические уравнения плоскости.

z = z0 + s1u + s2v

Пусть плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Положим  = (−B, A, 0),  = (−C, 0, A) и  = (0, −C,B). Тогда по крайней мере два из векторов ,  и  не коллинеарны и являются направляющими векторами плоскости (если A  0, то этими свойствами обладают вектора  и , если B  0 — вектора  и , а если C  0 — вектора  и ).

Пусть плоскость π задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Тогда вектор  = (A,B,C) называется главным вектором плоскости π.

Пусть плоскость σ1 задана уравнением A1x + B1y + C1z + D1 = 0, а плоскость σ2 — уравнением A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Плоскости σ1 и σ2: 1) пересекаются тогда и только тогда, когда или ; 2) параллельны тогда и только тогда, когда = = ; 3) совпадают тогда и только тогда, когда = = = .

Пусть плоскость σ задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Все пространство делится этой плоскостью на три непересекающиеся части: саму плоскость σ и два полупространства.

d(M, σ) =  - расстояние от точки М до плоскости σ.

------Прямая в пространстве------

x = x0 + qt

y = y0 + rt - параметрические уравнения прямой в пространстве.

z = z0 + st

 - канонические уравнения прямой в пространстве.

- уравнения прямой в пространстве по 2 точкам.

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

                                      - общие уравнения прямой в пространстве.

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Вектор   является направляющим вектором прямой, заданной общими уравнениями прямой в пространстве.

Пусть плоскость σ задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а прямая ℓ — уравнениями x = x0 + qt y = y0 + rt    z = z0 + st   Тогда: 1) ℓ и σ пересекаются тогда и только тогда, когда Aq + Br + Cs  0; 2) ℓ и σ параллельны тогда и только тогда, когда Aq + Br + Cs = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D  0; 3) ℓ лежит в σ тогда и только тогда, когда Aq + Br + Cs = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.

d(M, ℓ) = =  - расстояние от точки М до прямой ℓ.

Пусть ℓ1 и ℓ2 — скрещивающиеся прямые. Общим перпендикуляром к прямым ℓ1 и ℓ2 называется прямая, перпендикулярная к каждой из прямых ℓ1 и ℓ2 и пересекающая каждую из них.

Расстояние между скрещивающимися прямыми ℓ 1 и ℓ 2 - расстояние между точками, в которых общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым ℓ1 и ℓ2 пересекает эти прямые.

d(ℓ1, ℓ2) =

Если в пространстве заданы прямые с направляющими векторами (q1,r1,s1) и (q2,r2,s2), то угол α между этими прямыми:

cos α =

Если прямые на плоскости заданы уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0, то угол α между этими прямыми:

cos α =

Если плоскости заданы уравнениями A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между этими плоскостями можно найти, вычисляя угол α между их главными векторами:

cos α =  

Если α — угол между ℓ и ℓ1, а β — острый угол между ℓ и ℓ2, то α + β = 90°. Пусть (q,r,s) — направляющий вектор прямой ℓ, а Ax + By + Cz + D = 0 — уравнение плоскости σ. Тогда прямая ℓ2 коллинеарна главному вектору (A, B, C) плоскости σ. Отсюда угол между прямой и плоскостью:

sin α = cos β =

Тема 3: Комплексные числа

-----------Формула Кардано-----------

x = u + v =  +  - формула Кардано (для уравнения вида ).

Поле - неодноэлементное ассоциативное и коммутативное кольцо с 1, в котором все ненулевые элементы обратимы.

Поле комплексных чисел:

● содержит поле R действительных чисел;

● содержит квадратные корни из отрицательных чисел;

● не содержит ничего лишнего.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности