Лабораторная работа 6. Проверка гипотез согласия

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 9Следующая ⇒

Критерий Колмогорова

Этот критерий применяется для проверки простой гипотезы Н ₀ о том, что независимые одинаково распределенные случайные величины Х ₁, Х ₂, …, Х_п имеют заданную непрерывную функцию распределения F (x):

Найдем функцию эмпирического распределения F_n (x) и будем искать границы двусторонней критической области, определяемой условием

                            .                                         

А.Н. Колмогоров доказал, что в случае справедливости гипотезы Н ₀ распределение статистики D_n не зависит от функции F (x), и при  

где    

-

- показатель критерия Колмогорова, значения которого можно найти в соответствующих таблицах.

Критическое значение критерия λ _n (α) вычисляется по заданному уровню значимости α как корень уравнения .

Можно показать, что приближенное значение вычисляется по формуле

                            ,

где z – корень уравнения

На практике для вычисления значения статистики D_n используется то, что

, где

а  - вариационный ряд, построенный по выборке Х ₁, Х ₂, …, Х_п.

Можно дать следующее геометрическое истолкование критерия Колмогорова: если изобразить на плоскости О ху графики функций F_n (x), F_n (x) ±λ _n (α) (рис. 1), то гипотеза Н ₀ верна, если график функции F (x) не выходит за пределы области, лежащей между графиками функций F_n (x) -λ _n (α) и F_n (x) +λ _n (α).

Приближенный метод проверки нормальности распределения,

                связанный с оценками коэффициентов асимметрии и эксцесса

Определим по аналогии с соответствующими понятиями для теоретического распределения асимметрию и эксцессэмпирического распределения.

Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством

,

где т ₃ – центральный эмпирический момент третьего порядка.

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством

,

где т ₄ – центральный эмпирический момент четвертого порядка.

  Как известно, для нормально распределенной случайной величины асимметрия и эксцесс равны 0: . Поэтому, если соответствующие эмпирические величины достаточно малы, можно предположить, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Задачи

1. Сформировать выборку из распределения N (a, s ²) с параметрами a =1; s =0.5; n =100 и проверить по ней гипотезу согласия H0: F_n ^*(x)=Ф(x, a, s ²) на уровне 1- alp, alp =0.05. Дать графическую иллюстрацию. Критическую зону (она даётся функцией Колмогорова) оценить по методу Монте-Карло.
2. Смоделировать выборку из нормального закона N (0,1) объёма n =100 и представить её основные вероятностные характеристики включая статистики критериев согласия.

Пример выполнения работы

Рис. 6.1. Эмпирическая функция распределения и гипотетическая функция Ф(x, a, s ²)

T =0.6828 – гипотеза принимается

Рис. 6.2. Функция распределения Колмогорова (метод Монте-Карло)

Рис. 6.3. Характеристики выборки из нормального закона N (0,1)

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману